contrôle du 11 février 2014

Corrigé de l'exercice 2

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_{-2}^1{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+5}}\mathrm{d}x}$.

   Pour tout réel x, $x^2+x+5>0$. Soit f la fonction définie pour tout réel x par ${\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+5}}$. $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=x^2+x+5$ et $u\prime \left(x\right)=2x+1$.

   Par conséquent, une primitive F de la fonction f est de la forme $F=\ln \left(u\right)$. Soit pour tout réel x, $F\left(x\right)=\ln \left(x^2+x+5\right)$ donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-2}^1{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+5}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[\ln \left(x^2+x+5\right)\right]}_{-2}^1}\\ & =& \ln \left(1+1+5\right)-\ln \left(4-2+5\right)\\ & =& 0\end{array}$$

   $A={\displaystyle {\int }_{-2}^1{\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+x+5}}\mathrm{d}x}=0$.

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2. $B={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}2\times {\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x+1\right)\mathrm{d}x}$.

   Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^x\times \left({\mathrm{e}}^x+1\right)$. Pour tout réel x posons $u\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1$ d'où $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.

   Par conséquent, $f=2uu\prime$. Il s'ensuit, qu'une primitive F de la fonction f est de la forme $F=u^2$. Soit pour tout réel x, $F\left(x\right)={\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2$ donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}2{\mathrm{e}}^x\times \left({\mathrm{e}}^x+1\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2\right]}_0^{\ln 2}}\\ & =& {\left({\mathrm{e}}^{\ln 2}+1\right)}^2-{\left({\mathrm{e}}^0+1\right)}^2\\ & =& 3^2-2^2\\ & =& 5\end{array}$$

   $B={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}2{\mathrm{e}}^x\times \left({\mathrm{e}}^x+1\right)\mathrm{d}x}=5$

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3. $C={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}$.

   1. méthode 1

      Soit f la fonction définie pour tout réel t par $f\left(t\right)=\cos t\sin t={\displaystyle \frac{\sin 2t}{2}}$. Or une primitive de la fonction définie pour tout réel t par $g\left(t\right)=\sin 2t$ est la fonction G définie pour tout réel t par $G\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2t$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\sin 2t\mathrm{d}t}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{\cos 2t}{2}}\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}{4}}+{\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$

      $C={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

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   2. méthode 2

      Soit f la fonction définie pour tout réel t par $f\left(t\right)=\cos t\sin t$.

      • Posons $u\left(t\right)=\cos t$ :

        $f=-uu\prime$ avec pour tout réel t, $u\left(t\right)=\cos t$ et $u\prime \left(t\right)=-\sin t$.

        Par conséquent, une primitive F de la fonction f est de la forme $F=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times u^2$. Soit pour tout réel t, $F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(\cos t\right)}^2$ donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{{\left(\cos t\right)}^2}{2}}\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{-{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}^2}{2}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2}{2}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$

        $C={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

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      • Posons $u\left(t\right)=\sin t$ :

        $f=uu\prime$ avec pour tout réel t, $u\left(t\right)=\sin t$ et $u\prime \left(t\right)=\cos t$.

        Par conséquent, une primitive F de la fonction f est de la forme $F={\displaystyle \frac{1}{2}}\times u^2$. Soit pour tout réel t, $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(\sin t\right)}^2$ donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{{\left(\sin t\right)}^2}{2}}\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\left(\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)}^2}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$

        $C={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos t\sin t\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

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4. $D={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^2{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\mathrm{d}x}$.

   Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$. Pour tout réel x strictement positif posons $u\left(x\right)=\ln x$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   Par conséquent, $f=uu\prime$. Il s'ensuit, qu'une primitive F de la fonction f est de la forme $F={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2$. Soit pour tout réel x strictement positif, $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}}$ donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^2{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}}\right]}_{\frac{1}{2}}^2}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(\ln 2\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\left(\ln \mathrm{0,5}\right)}^2}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(\ln 2\right)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{\left(-\ln 2\right)}^2}{2}}\\ & =& 0\end{array}$$

   $D={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^2{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}\mathrm{d}x}=0$

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5. $E={\displaystyle {\int }_{\ln 2}^{\ln 3}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}\mathrm{d}x}$.

   Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}$. Pour tout réel x posons $u\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1$ d'où $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.

   Par conséquent, $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$. Il s'ensuit, qu'une primitive F de la fonction f est de la forme $F=\ln \left(u\right)$. Soit pour tout réel x, $F\left(x\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)$ donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\ln 2}^{\ln 3}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)\right]}_{\ln 2}^{\ln 3}}\\ & =& \ln \left({\mathrm{e}}^{\ln 3}+1\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^{\ln 2}+1\right)\\ & =& \ln 4-\ln 4\end{array}$$

   $E={\displaystyle {\int }_{\ln 2}^{\ln 3}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}\mathrm{d}x}=\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}$.

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