contrôle du 9 octobre 2015

Corrigé de l'exercice 1

Dans chacun des cas suivants, déterminer les fonctions primitives F de la fonction f.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^3+3x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+3\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times x+c\iff F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3-{\displaystyle \frac{x}{2}}+c$$

   L'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3-{\displaystyle \frac{x}{2}}+c$ où c est un réel.

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2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{x}{3}}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=3\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+c\iff F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+c$$

   L'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{x}}+c$ où c est un réel.

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3. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3x-{\displaystyle \frac{2}{x^3}}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=3\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)+c\iff F\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+c$$

   L'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+c$ où c est un réel.

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4. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=-2\cos \left(4t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(t\right)=-2\times {\displaystyle \frac{\sin \left(4t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}{4}}+c\iff F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{\sin \left(4t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}{2}}+c$$

   L'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ par $F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{\sin \left(4t-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}{2}}+c$ (ou $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{\cos \left(4t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}{2}}+c$) où c est un réel.

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5. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=6\sin \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(t\right)=6\times {\displaystyle \frac{-\cos \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}{3}}+c\iff F\left(t\right)=-2\cos \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+c$$

   L'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ par $F\left(t\right)=-2\cos \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+c$ où c est un réel.

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