contrôle du 9 octobre 2015

Corrigé de l'exercice 3

partie a

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction fonction f. Déterminer $f\prime \left(0\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 d'où $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{4}{3}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}=-{\displaystyle \frac{16}{9}}$$

   $f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{16}{9}}$.

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2. Soit F la primitive de la fonction fonction f telle que $F\left(1\right)=1$.

   1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

      Les variations de F se déduisent du signe desa dérivée f

      x	$-\infty$		0		$+\infty$
      $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $F\left(x\right)$

   2. On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction F. Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1.

      La tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 a pour équation $$\begin{array}{rcl}y=f\left(1\right)\times \left(x-1\right)+F\left(1\right)& \text{soit}& y=-1\times \left(x-1\right)+1\\ & \iff & y=-x+2\end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-x+2$.

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partie b

Soit F et G les fonctions définies sur $ℝ$ par : $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{5-x^2}{x^2+3}}$ et $G\left(x\right)={\displaystyle \frac{8}{x^2+3}}$.

1. Montrer que F et G sont deux primitives sur $ℝ$ d'une même fonction f.

   Calculons $F\left(x\right)-G\left(x\right)$ : $$\begin{array}{lll}F\left(x\right)-G\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5-x^2}{x^2+3}}-{\displaystyle \frac{8}{x^2+3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5-x^2-8}{x^2+3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2-3}{x^2+3}}\\ & =& -1\end{array}$$

   Ainsi pour tout réel x, $F\left(x\right)-G\left(x\right)=-1$ soit $F\left(x\right)=G\left(x\right)-1$. Donc F et G sont deux primitives sur $ℝ$ de la même fonction f.

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2. Calculer $f\left(x\right)$.

   F et G sont deux primitives sur $ℝ$ de la même fonction f donc pour tout réel x, $f\left(x\right)=F\prime \left(x\right)=G\prime \left(x\right)$.

   $\begin{array}{ccc}G={\displaystyle \frac{8}{v}}& \text{d'où}& G\prime =8\times \left(-{\displaystyle \frac{v\prime }{v^2}}\right)\end{array}$. Avec v définie sur $ℝ$ par : $v\left(x\right)=x^2+3$ et $v\prime \left(x\right)=2x$. Soit pour tout réel x :$$\begin{array}{ccc}G\prime \left(x\right)=-8\times {\displaystyle \frac{2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}& \iff & G\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{16x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}\end{array}$$

   F et G sont deux primitives de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{16x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$.

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