contrôle du 9 octobre 2015

Corrigé de l'exercice 2

1. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2x}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}$ telle que $F\left(0\right)=0$.

   Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=x^2-x+1$, d'où $u\prime \left(x\right)=2x-1$. Ainsi, $f=-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ d'où $F={\displaystyle \frac{1}{u}}+c$. Soit pour tout réel x :$$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2-x+1}}+c$$

   La condition $F\left(0\right)=0$ se traduit par $$\begin{array}{ccc}1+c=0& \iff & c=-1\end{array}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2-x+1}}-1$.

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2. 1. Calculer la dérivée de la fonction u définie pour tout réel t par $u\left(t\right)=1+{\cos }^2\left(t\right)$.

      La dérivée de la fonction u est la fonction $u\prime$ définie pour tout réel t par $u\prime \left(t\right)=-2\sin \left(t\right)\cos \left(t\right)$.

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   2. Calculer la primitive F de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=-2\sin \left(t\right)\cos \left(t\right)\left(1+{\cos }^2\left(t\right)\right)$ qui vérifie $F\left(0\right)=0$.

      Pour tout réel t, posons $u\left(t\right)=1+{\cos }^2\left(t\right)$, d'où $f=u\prime u$ d'où $F={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2+c$. Soit pour tout réel t :$$F\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(1+{\cos }^2\left(t\right)\right)}^2+c$$

      La condition $F\left(0\right)=0$ se traduit par $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{{\left(1+1^2\right)}^2}{2}}+c=0& \iff & c=-2\end{array}$$

      Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{{\left(1+{\cos }^2\left(t\right)\right)}^2}{2}}-2$.

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