contrôles en terminale STI2D

contrôle du 2 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 1

Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

$z_{1} = - 1 + i \sqrt{3}$ .
Le module du nombre complexe $z_{1} = - 1 + i \sqrt{3}$ est : $| z_{1} | = \sqrt{1 + 3} = 2$ .
Un argument θ du nombre complexe $z_{1}$ est tel que : ${\begin{cases} \cos θ = - \frac{1}{2} \\ \sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ . D'où $\arg (z_{1}) = \frac{2 π}{3} [2 π]$ .
La forme exponentielle du nombre complexe $z_{1} = - 1 + i \sqrt{3}$ est $z_{1} = 2 e^{i \frac{2 π}{3}}$ .
$z_{2} = \sqrt{3} - i$ .
Le module du nombre complexe $z_{2} = \sqrt{3} - i$ est : $| z_{2} | = \sqrt{3 + 1} = 2$ .
Un argument θ du nombre complexe $z_{2}$ est tel que : ${\begin{cases} \cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin θ = - \frac{1}{2} \end{cases}$ . D'où $\arg (z_{2}) = - \frac{π}{6} [2 π]$ .
La forme exponentielle du nombre complexe $z_{2} = \sqrt{3} - i$ est $z_{2} = 2 e^{- i \frac{π}{6}}$ .
$z_{3} = - \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}$ .

$e^{i π} = - 1$ d'où $\begin{array}{rcl} z_{3} = - \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}} & \Leftrightarrow & z_{3} = e^{i π} \times \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}} \\ \Leftrightarrow & z_{3} = \sqrt{2} e^{i (π - \frac{π}{4})} \\ \Leftrightarrow & z_{3} = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}} \end{array}$
La forme exponentielle du nombre complexe $z_{3} = - \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}$ est $z_{3} = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ .
$z_{4} = \frac{\sqrt{6} - i \sqrt{6}}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ .
$\begin{array}{rcl} z_{4} = \frac{\sqrt{6} - i \sqrt{6}}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}} & \Leftrightarrow & z_{4} = \frac{\sqrt{6} (1 - i)}{\sqrt{2} (1 + i)} \\ \Leftrightarrow & z_{4} = \sqrt{3} \times \frac{(1 - i) (1 - i)}{1 + 1} \\ \Leftrightarrow & z_{4} = \sqrt{3} \times \frac{1 - 2 i + i^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow & z_{4} = - \sqrt{3} i \\ \Leftrightarrow & z_{4} = \sqrt{3} e^{- i \frac{π}{2}} \end{array}$
La forme exponentielle du nombre complexe $z_{4} = \frac{\sqrt{6} - i \sqrt{6}}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ est $z_{4} = \sqrt{3} e^{- i \frac{π}{2}}$ .

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