contrôles en terminale STI2D

contrôle du 2 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 2

On considère les nombres complexes $z_{1} = 1 - i$ et $z_{2} = \sqrt{2} e^{- i \frac{2 π}{3}}$ .

Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$ .
- Le module du nombre complexe $z_{1} = 1 - i$ est : $| z_{1} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}$
- Un argument θ du nombre complexe $z_{1} = 1 - i$ est tel que : ${\begin{matrix} \cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin θ = \frac{- 1}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}$ . D'où $\arg (z_{1}) = - \frac{π}{4} [2 π]$ .
La forme exponentielle de $z_{1}$ est $z_{1} = \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}$ .
Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$ .
Le nombre complexe $z_{2} = \sqrt{2} e^{- i \frac{2 π}{3}}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $- \frac{2 π}{3}$ d'où $z_{2} = \sqrt{2} (\cos (- \frac{2 π}{3}) + i \sin (- \frac{2 π}{3})) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} i$
L'écriture algébrique de $z_{2} = \sqrt{2} e^{- i \frac{2 π}{3}}$ est $z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} i$ .
Soit $Z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ .
1. Déterminer l'écriture algébrique de Z.
  $\begin{array}{rcl} Z = \frac{1 - i}{- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} i} & = & \frac{- 2 + 2 i}{\sqrt{2} + \sqrt{6} i} \\ = & \frac{(- 2 + 2 i) (\sqrt{2} - \sqrt{6} i)}{(\sqrt{2} + \sqrt{6} i) (\sqrt{2} - \sqrt{6} i)} \\ = & \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6} i + 2 \sqrt{2} i - 2 \sqrt{6} i^{2}}{8} \\ = & \frac{2 (- \sqrt{2} + \sqrt{6}) + 2 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) i}{8} \end{array}$
  L'écriture algébrique de $Z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ est $Z = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} i$ .
2. Déterminer la forme exponentielle de Z.
  $\begin{matrix} Z & = & \frac{\sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}}{\sqrt{2} e^{- i \frac{2 π}{3}}} & = & e^{i (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{4})} & = & e^{i \frac{5 π}{12}} \end{matrix}$
  L'écriture exponentielle de $Z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ est $Z = e^{i \frac{5 π}{12}}$ .
3. En déduire la valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ puis celle de $\cos (- \frac{π}{12})$ .
  Le nombre complexe $Z = e^{i \frac{5 π}{12}}$ a pour module 1 et pour argument $\frac{5 π}{12}$ d'où $Z = \cos (\frac{5 π}{12}) + i \sin (\frac{5 π}{12})$ .
  Par identification des parties réelle et imaginaire du nombre complexe Z, on en déduit que $\cos (\frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $\sin (\frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .
  Or $\cos (- \frac{π}{12}) = \sin (- \frac{π}{12} + π) = \sin (\frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .
  Ainsi, $\cos (\frac{5 π}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $\cos (- \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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