contrôles en terminale STI2D

contrôle du 2 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 3

La courbe $𝒞_{f}$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$

partie a

On note $f'$ la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f' (- 1)$ et $f' (0)$ .
- La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse $- 1$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f' (- 1) = 0$ .
- Le nombre dérivé $f' (0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 0 passant par le point de coordonnées $(0,5; 1)$ donc $f' (0) = 2$ .

Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle d'une primitive $F_{1}$ de la fonction f.
Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F_{1}$ . Justifier la réponse.


Courbe représentive de la dérivée $f'$		Courbe représentive de la primitive $F_{1}$

Les valeurs $f' (- 1) = 0$ et $f' (0) = 2$ ne permettent pas de déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ .
Or sur chacun des intervalles $] - \infty; - 1]$ ou $[1; + \infty [$ , la fonction f est décroissante, par conséquent, $f' (x) ⩽ 0$ sur $] - \infty; - 1]$ ou sur $[1; + \infty [$ .
La courbe $C_{1}$ est la courbe représentative de la dérivée $f'$

La fonction $F_{1}$ est une primitive sur $ℝ$ de la fonction f donc pour tout réel x, on a $F_{1}' (x) = f (x)$ . Par conséquent, les variations de la fonction $F_{1}$ se déduisent du signe de sa dérivée f :

x	$- \infty$		0		$+ \infty$
Signe de $f (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
Variations de $F_{1}$

La courbe $C_{3}$ est la courbe représentative de la primitive $F_{1}$ .

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

Soit F la primitive sur $ℝ$ de la fonction f telle que $F (0) = 0$ . Exprimer $F (x)$ en fonction de x.
Soit u la fonction définie pour tout réel x par $u (x) = x^{2} + 1$ d'où $u' (x) = 2 x$ . Alors, $f = \frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ . D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $F = \ln (u) + c$ où c est un réel.
Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie pour tout réel x par $F (x) = \ln (x^{2} + 1) + c$ .
La condition $F (0) = 0$ se traduit par $\begin{matrix} \ln (1) + c = 0 & \Leftrightarrow & c = 0 \end{matrix}$
Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F (0) = 0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .
Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $𝒞_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ .
Sur l'intervalle $[1; 3]$ la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $𝒞_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle $[1; 3]$ : $\begin{array}{rcl} \int_{1}^{3} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x & = & F (3) - F (1) \\ = & \ln (10) - \ln (2) \\ = & \ln (5) \end{array}$
L'aire du domaine délimité par la courbe $𝒞_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ est égale à $(\ln 5)$ unités d'aire.

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