contrôle du 19 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On considère les nombre complexes $z_0=\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $z_1=\stackrel{—}{z_0}$ et $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

1. Écrire le nombres $z_0$, $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique et exponentielle.

   • Le module du nombre complexe $z_0=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $$\left|z_0\right|=\sqrt{3+1}=2$$

     Un argument θ du nombre complexe $z_0$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où $z_0$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

     La forme trigonométrique de $z_0$ est $z_0=2\left(\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)$. La forme exponentielle est $z_0=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

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   • Le nombre complexe $z_1$ est le conjugué du nombre complexe $z_0$ donc :

     La forme trigonométrique de $z_1$ est $z_1=2\left(\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)$. La forme exponentielle est $z_0=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

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   • Le module du nombre complexe $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $$\left|z_2\right|=\sqrt{3+1}=2$$

     Un argument θ du nombre complexe $z_2$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où $z_2$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

     La forme trigonométrique de $z_2$ est $z_2=2\left(\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\right)$. La forme exponentielle est $z_2=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

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2. Soit z le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donner l'écriture algébrique de z.

   $$z=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

   $z={\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

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3. Calculer $z_3=z\times z_2+z_1$.

   $$\begin{array}{rcl}{z}_3& =& \left({\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\times \left(-\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)+\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{i}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\\ & =& -2\mathrm{i}\end{array}$$

   $z_3=-2\mathrm{i}$

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4. Placer les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_0$, $z_1$ , $z_2$ et $z_3$ dans le repère donné ci-dessous.

5. Quelle est la nature du triangle ABD ?

   $$\begin{array}{ll}& AB=\left|z_1-z_0\right|=\left|-2\mathrm{i}\right|=2\\ \text{et}& BD=\left|z_3-z_1\right|=\left|-\sqrt{3}-\mathrm{i}\right|=2\end{array}$$

   $AB=BD$ donc le triangle ABD est isocèle en B.

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