Soit f la fonction définie pour tout réel x par .
Sa courbe représentative, notée , est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Montrer que pour tout réel x, on a où désigne la fonction dérivée de f.
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
est la fonction définie pour tout réel x par .
Donner le tableau de variation de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Pour tout réel x, donc est du même signe que .
D'où le tableau de variation de la fonction :
x | 7,5 | ||||
+ | − | ||||
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 5.
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 5 est :
Or et .
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 5 a pour équation .
Tracer la tangente T dans le repère précédent.
En déduire par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation .
La courbe est en dessus de la droite d'équation pour .
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle
On admet que la fonction F définie pour tout réel x par est une primitive de la fonction f sur .
Calculer la valeur exacte de .
.
Donner une interprétation graphique du nombre A.
Sur l'intervalle , la courbe est en dessus de la droite d'équation donc :
L'intégrale est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , la droite d'équation , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
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