contrôle du 19 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(10-x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}$.
Sa courbe représentative, notée $C_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. 1. Montrer que pour tout réel x, on a $f\prime \left(x\right)=\left(3-\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=10-x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}+\left(10-x\right)\times \left(\mathrm{0,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}\right)\\ & =& \left(-1+\left(10-x\right)\times \mathrm{0,4}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}\\ & =& \left(3-\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(3-\mathrm{0,4}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}$.

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   2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(3-\mathrm{0,4}x\right)$.

      D'où le tableau de variation de la fonction :

      x	$-\infty$		7,5		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$\mathrm{2,5}\mathrm{e}$

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2. 1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 5.

      Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 5 est :$$y=f\prime \left(5\right)\times \left(x-5\right)+f\left(5\right)$$

      Or $f\left(5\right)=5$ et $f\prime \left(5\right)=1$.

      La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 5 a pour équation $y=x$.

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   2. Tracer la tangente T dans le repère précédent.
      En déduire par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾x$.

      La courbe $C_f$ est en dessus de la droite d'équation $y=x$ pour $x⩽5$.

      Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾x$ est l'intervalle $\left]-\infty ;5\right]$

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3. On admet que la fonction F définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=\left(\mathrm{31,25}-\mathrm{2,5}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}$ est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

   1. Calculer la valeur exacte de $A={\displaystyle {\int }_0^5\left(f\left(x\right)-x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^5\left(f\left(x\right)-x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[F\left(x\right)-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_0^5}\\ & =& {\displaystyle {\left[\left(\mathrm{31,25}-\mathrm{2,5}x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}x-2}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_0^5}\\ & =& \left(\mathrm{18,75}\times {\mathrm{e}}^0-{\displaystyle \frac{25}{2}}\right)-\mathrm{31,25}\times {\mathrm{e}}^{-2}\\ & =& \mathrm{6,25}-\mathrm{31,25}\times {\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

      $A={\displaystyle {\int }_0^5\left(f\left(x\right)-x\right)\mathrm{d}x}=\mathrm{6,25}-\mathrm{31,25}\times {\mathrm{e}}^{-2}$.

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   2. Donner une interprétation graphique du nombre A.

      Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, la courbe $C_f$ est en dessus de la droite d'équation $y=x$ donc :

      L'intégrale $A={\displaystyle {\int }_0^5\left(f\left(x\right)-x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, la droite d'équation $y=x$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=5$.

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