contrôles en terminale STI2D

contrôle du 19 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(10-x)e0,4x-2.
Sa courbe représentative, notée Cf, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

    1. Montrer que pour tout réel x, on a f(x)=(3-0,4x)e0,4x-2f désigne la fonction dérivée de f.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=10-x;u(x)=-1v(x)=e0,4x-2;v(x)=0,4e0,4x-2

      Soit pour tout réel x, f(x)=-e0,4x-2+(10-x)×(0,4e0,4x-2)=(-1+(10-x)×0,4)e0,4x-2=(3-0,4x)e0,4x-2

      f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(3-0,4x)e0,4x-2.


    2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, e0,4x-2>0 donc f(x) est du même signe que (3-0,4x).

      D'où le tableau de variation de la fonction :

      x- 7,5 +
      f(x) +0|| 
      f(x)fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2,5e

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 5.

      Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 5 est :y=f(5)×(x-5)+f(5)

      Or f(5)=5 et f(5)=1.

      La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 5 a pour équation y=x.


    2. Tracer la tangente T dans le repère précédent.
      En déduire par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)x.

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      La courbe Cf est en dessus de la droite d'équation y=x pour x5.

      Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)x est l'intervalle ]-;5]


  1. On admet que la fonction F définie pour tout réel x par F(x)=(31,25-2,5x)e0,4x-2 est une primitive de la fonction f sur .

    1. Calculer la valeur exacte de A=05(f(x)-x)dx.

      05(f(x)-x)dx=[F(x)-x22]05=[(31,25-2,5x)e0,4x-2-x22]05=(18,75×e0-252)-31,25×e-2=6,25-31,25×e-2

      A=05(f(x)-x)dx=6,25-31,25×e-2.


    2. Donner une interprétation graphique du nombre A.

      Sur l'intervalle [0;5], la courbe Cf est en dessus de la droite d'équation y=x donc :

      L'intégrale A=05(f(x)-x)dx est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, la droite d'équation y=x, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5.



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