contrôle du 19 fevrier 2016

Corrigé de l'exercice 2

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

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1. L'équation $\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{1-x^2}=0$ admet sur $ℝ$ :

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{1-x^2}=0& \iff & 2-x=0\\ & \iff & x=2\end{array}$$

   a.   aucune solution

   b.   une seule solution

   c.   deux solutions

   d.   trois solutions

2. Sur $ℝ$, l'équation $\ln \left(x\right)+1=0$ :

   Pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}\ln \left(x\right)+1=0& \iff & \ln \left(x\right)=-1\\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

   a.   n'a pas de solution

   b.   a pour solution $x=-1$

   c.   a pour solution $x=-\mathrm{e}$

   d.   a pour solution $x={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

3. La courbe (Γ) ci-dessous, est la courbe représentative de la dérivée $f\prime$ d'une fonction f définie sur $ℝ$.

   La fonction f est :

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$

   x	− ∞		$-5$		3		$+\infty$
   Signe de $f\prime$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Variations de f

   a.   décrossante sur $\left[-5;3\right]$

   b.   croissante sur $\left[-5;3\right]$

   c.   décroissante sur $\left]-\infty ;-3\right]$

   d.   croissante sur $\left[1;+\infty \right[$

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