contrôle № 9 du 22 mai 2016

Corrigé de l'exercice 2

L'iode 131 est un produit radioactif qui se désintègre spontanément.
Le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans tout échantillon à la date t, exprimée en heures, est modélisé par une fonction N solution de l'équation différentielle : $$\begin{array}{cc}\left(E\right)& N\prime +3564\times {10}^{-6}\times N=0\end{array}$$
On dispose d'un échantillon contenant $4\times {10}^{12}$ noyaux d'iode 131.

1. 1. Résoudre l'équation différentielle (E) et donner sa solution particulière $N\left(t\right)$ définie par la condition initiale $N\left(0\right)=4\times {10}^{12}$.

      Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t⟼k{\mathrm{e}}^{-at}$, où k est une constante réelle quelconque.

      Par conséquent, les solutions sur $ℝ$ de l'équation différentielle $N\prime +3564\times {10}^{-6}\times N=0$ sont les fonctions définies pour tout réel t par $N\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-3564\times {10}^{-6}t}$ où k est une constante réelle quelconque.

      La condition $N\left(0\right)=4\times {10}^{12}$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0=4\times {10}^{12}$ d'où $k=4\times {10}^{12}$

      Ainsi, la fonction N est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par : $N\left(t\right)=4\times {10}^{12}{\mathrm{e}}^{-3564\times {10}^{-6}t}$.

      ---

   2. Calculer, à 0,1 jour près, le nombre de jours n au bout duquel le nombre de noyaux d'iode 131 encore présents dans l'échantillon aura diminué de moitié.

      Le temps t, exprimé en heures, au bout duquel le nombre de noyaux d'iode 131 encore présents dans l'échantillon aura diminué de moitié est solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}N\left(t\right)=2\times {10}^{12}& \iff & 4\times {10}^{12}{\mathrm{e}}^{-3564\times {10}^{-6}t}=2\times {10}^{12}\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-3564\times {10}^{-6}t}={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-3564\times {10}^{-6}t}\right)=\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ & \iff & -3564\times {10}^{-6}t=-\ln 2\hfill \\ & \iff & t={\displaystyle \frac{\ln 2\times {10}^6}{3564}}\hfill \end{array}$$Ce qui correspond à un nombre de jours $n={\displaystyle \frac{\ln 2\times {10}^6}{3564\times 24}}\approx \mathrm{8,1}$

      Le nombre de noyaux d'iode 131 encore présents dans l'échantillon aura diminué de moitié au bout de 8,1 jours

      ---

2. La variable aléatoire X égale à la durée de vie en jours d'un atome d'iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,0855}$.

   1. Calculer $P\left(X>14\right)$.

      $P\left(X>14\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0855}\times 14}\approx \mathrm{0,302}$

      ---

   2. La demi-vie d'une substance radioactive est la durée t nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée t telle que $P\left(X<t\right)=\mathrm{0,5}$).
      Calculer à 0,1 jour près la demi-vie de l'iode 131.

      Comme $P\left(X<t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0855}t}$, t est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0855}t}=\mathrm{0,5}& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0855}t}=\mathrm{0,5}\\ & \iff & -\mathrm{0,0855}t=\ln \mathrm{0,5}\\ & \iff & t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,0855}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{0,0855}}}\approx \mathrm{8,1}\end{array}$$

      La demi-vie de l'iode 131 est d'environ 8,1 jours.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variation, limitesLogarithme népérien : Propriétés algébriques , équationsFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentiellePrimitives d'une fonctionIntégrationÉquations différentiellesProbabilités : Lois de probabilité à densitéTrigonométrieNombres complexesFonctions : QCMFonctions : Vrai-Faux

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.