Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone.
Le contrôle de qualité mis en place a permis d'établir que sur l'ensemble de la production 3 % des batteries sont défectueuses.
On prélève au hasard un échantillon de 20 batteries dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise.
Soit Y la variable aléatoire qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de batteries défectueuses.
Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise donc Y suit la loi binomiale de paramètres et .
Quelle est la probabilité, arrondie à près, que dans un échantillon de 20 batteries, il y a au moins une batterie défectueuse ?
L'évènement « au moins une batterie est défectueuse » est l'évènement contraire de l'évènement « les 20 batteries ne sont pas défectueuses » :
Arrondie au millième près, la probabilité que parmi les 20 batteries, il y a au moins une batterie défectueuse est 0,456.
Quelle est la probabilité, arrondie à près, que dans un échantillon de 20 batteries, il y a au plus une batterie défectueuse ?
À l'aide de la calculatrice, on a :
La probabilité, arrondie au millième près, qu'au plus une batterie soit défectueuse est 0,88.
Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.
La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne et d'écart-type .
Déterminer en donnant le résultat arrondi au millième.
À l'aide de la calculatrice, on trouve .
Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance et d'écart-type ? Justifier le choix.
L'espérance donc la courbe admet la droite d'équation comme axe de symétrie. Par conséquent, la courbe 1 ne convient pas.
L'aire d'un carreau du quadrillage correspond à une probabilité égale à 0,05. Or et l'aire du domaine délimité par la courbe 3, l'axe des abscisses et les droites d'équation et est inférieure à 0,4 donc la courbe 3 ne convient pas.
La courbe 2 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction de densité de la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, que la durée de vie d'une batterie soit supérieure à 900 cycles de charge ?
La calculatrice permet de déterminer la probabilité quand X suit la loi normale :
La probabilité, arrondie au millième près, que la durée de vie d'une batterie soit supérieure à 900 cycles de charge est 0,091.
Sachant que , donner la valeur de a arrondie à l'unité. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
À l'aide de la calculatrice, on trouve pour .
15 % des batteries ont une durée de vie inférieure à 722 cycles de charge.
Le service commercial affirme que 90 % des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 60 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.
Sur ce lot, on a constaté que seulement 51 batteries ont eu une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge.
Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?
La fréquence observée des batteries ayant une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge dans l'échantillon est
Soit la probabilité qu'une batterie ait une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge. Comme , et , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :
Soit en arrondissant à près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des des batteries ayant une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge dans un échantillon de 60 batteries est .
La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le résultat de ce test ne remet pas en question l'affirmation du service commercial.
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