contrôle du 21 novembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

partie a

On a tracé ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   • La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-1\right)=0$.

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 donc $f\prime \left(0\right)=2$.

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2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F. Justifier la réponse.

   • $f\prime \left(-1\right)=0$ et $f\prime \left(0\right)=2$ donc :

     la courbe $C_3$ est la courbe représentative de la dérivée $f\prime$

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   • La fonction F est une primitive sur $ℝ$ de la fonction f donc pour tout réel x, on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f :

     x	$-\infty$		0		$+\infty$
     Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Variations de $F$

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     La courbe $C_1$ est la courbe représentative de la primitive F.

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{18x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$.

1. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(1\right)=0$.

   1. Montrer que la fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}$ est une primitive de la fonction f.

      Pour tout réel x posons $u\left(x\right)=x^2+3$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x$. On a donc $f\left(x\right)=9\times {\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{{\left(u\left(x\right)\right)}^2}}$.

      Les primitives sur $ℝ$ de la fonction f sont les fonctions $x\mapsto 9\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}\right)+c$ où c est un réel.

      Ainsi, la fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}$ est une primitive de la fonction f.

      ---

   2. En déduire une expression de $F\left(x\right)$.

      F est la primitive de la fonction f qui s'annule en 1 donc $F\left(x\right)=G\left(x\right)+c$. Soit $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}+c$ et $F\left(1\right)=0$ d'où :$$\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{9}{1+3}}+c=0& \iff & c={\displaystyle \frac{9}{4}}\end{array}$$

      La fonction F est définie pour tout réel x par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}$.

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2. Déterminer la limite de F en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement ces résultats.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2+3=+\infty$ d'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$. Soit $\underset{x\to -\infty }{\lim }F\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$.

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2+3=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2+3}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$. Soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }F\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{4}}$ alors, la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{9}{4}}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

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3. Étudier les variations de la fonction F.

   Les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée.

   Comme F est une primitive sur $ℝ$ de la fonction f, on a $$F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)={\displaystyle \frac{18x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$$

   D'où le tableau des variations de la fonction F :

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $F\left(x\right)$	$\frac{9}{4}$		$-\frac{3}{4}$		$\frac{9}{4}$

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4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_F$ représentative de la fonction F au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_F$ au point d'abscisse 1 est :$$\begin{array}{rcl}y=F\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+F\left(1\right)& \iff & y=f\left(1\right)\times \left(x-1\right)+F\left(1\right)\\ & \iff & y={\displaystyle \frac{18}{4^2}}\times \left(x-1\right)\\ & \iff & y={\displaystyle \frac{9}{8}}x-{\displaystyle \frac{9}{8}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_F$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y={\displaystyle \frac{9}{8}}x-{\displaystyle \frac{9}{8}}$.

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