contrôles en terminale STI2D

contrôle du du 22 mai 2017

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise fabrique par moulage des paraboles pour réception satellitaire en matériau composite. Ce matériau est disposé dans un moule à une température de 140 °C (degrés Celsius), puis pressé.

On pose $t = 0$ à l'instant où la parabole est retirée du moule. Elle a alors une température de 140 °C. On la dépose à l'air libre à la température ambiante de 20 °C afin qu'elle refroidisse.

On note $f (t)$ la température de la parabole, en degrés Celsius à l'instant t, exprimée en secondes.
D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction f définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ d'expression $f (t)$ est solution de l'équation différentielle $(E) : y' + 0,004 y = 0,08$ où l'inconnue y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur $[0; + \infty [$ .

partie a : Résolution d'une équation différentielle

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
Les solutions de l'équation différentielle $y' + a y = b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t ⟼ k e^{- a t} + \frac{b}{a}$ , où k est une constante réelle quelconque.
Par conséquent, les solutions sur $[0; + \infty [$ de l'équation différentielle $y' + 0,004 y = 0,08$ sont les fonctions définies pour tout réel t de l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (t) = k e^{- 0,004 t} + 20$ où k est une constante réelle quelconque.
On rappelle que $f (0) = 140$ . En déduire l'expression de $f (t)$ pour $t \in [0; + \infty [$ .
La condition $f (0) = 140$ équivaut à $k e^{0} + 20 = 140$ d'où $k = 120$
Ainsi, la fonction f est définie sur $[0; + \infty [$ par : $f (t) = 120 e^{- 0,004 t} + 20$ .

partie b : Étude d'une fonction

Dans cette partie, on admet que $f (t) = 120 e^{- 0,004 t} + 20$ pour $t \in [0; + \infty [$ .

1. Déterminer la limite de la fonction f en $+ \infty$ .
  $\lim_{t \to + \infty} e^{- 0,004 t} = 0$ donc $\lim_{t \to + \infty} 120 e^{- 0,004 t} + 20 = 20$ .
  Ainsi, $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 20$ .
2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
  La température de la parabole va baisser et sera proche de 20 °C à partir d'un certain temps.
1. Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction f.
  La dérivée de la fonction f est la fonction $f'$ définie sur $[0; + \infty [$ par : $f' (t) = 120 \times (- 0,004 \times e^{- 0,004 t}) = - 0,48 e^{- 0,004 t}$
  Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f' (t) = - 0,48 e^{- 0,004 t}$ .
2. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur $[0; + \infty [$ .
  Comme pour tout réel t on a $e^{- 0,004 t} > 0$ , on en déduit que sur l'intervalle $[0; + \infty [$ : $- 0,48 e^{- 0,004 t} < 0$ .
  Sur $[0; + \infty [$ , $f' (t) < 0$ donc la fonction f est strictement décroissante.
Au cours du refroidissement, il arrive que la parabole doive subir des rectifications et des contrôles. Ceux-ci ne peuvent être effectués que lorsque la température de la parabole est inférieure à 30 °C.
Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 30 °C ?
$\begin{array}{rcl} 120 e^{- 0,004 t} + 20 < 30 & \Leftrightarrow & e^{- 0,004 t} < \frac{10}{120} \\ \Leftrightarrow & - 0,004 t < \ln (\frac{1}{12}) \\ \Leftrightarrow & t > - \frac{\ln (\frac{1}{12})}{0,004} \\ \Leftrightarrow & t > 250 \ln 12 \end{array}$
Comme $250 \ln 12 \approx 621,2$ on en déduit que :
le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 30 °C est de 622 secondes soit 10 minutes et 22 secondes.

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