contrôle du du 22 mai 2017

Corrigé de l'exercice 2

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : $y″+4y=0$, où y désigne une fonction de la variable réelle x.

   Les solutions de l'équation différentielle $y″+4y=0$ sont les fonctions f de la forme $f:x\mapsto k_1\cos \left(2x\right)+k_2\sin \left(2x\right)$, où $k_1$ et $k_2$ sont des constantes réelles.

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2. Déterminer la solution particulière f de (E) telle que $f\left(0\right)=\sqrt{3}$ et $f\prime \left(0\right)=2$.

   • La condition $f\left(0\right)=\sqrt{3}$ est vérifiée si, et seulement si, $$\begin{array}{rcl}{k}_1\cos \left(0\right)+k_2\sin \left(0\right)=\sqrt{3}& \iff & k_1=\sqrt{3}\end{array}$$ Ainsi, la fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\sqrt{3}\cos \left(2x\right)+k_2\sin \left(2x\right)$.

   • La dérivée de la fonction la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=-2\sqrt{3}\sin \left(2x\right)+2k_2\cos \left(2x\right)$.

     La condition $f\prime \left(0\right)=2$ est vérifiée si, et seulement si, $$\begin{array}{rcl}-2\sqrt{3}\sin \left(0\right)+2k_2\cos \left(0\right)=2& \iff & k_2=1\end{array}$$

   La solution particulière f de (E) telle que $f\left(0\right)=\sqrt{3}$ et $f\prime \left(0\right)=2$ est la fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\sqrt{3}\cos \left(2x\right)+\sin \left(2x\right)$.

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3. Montrer que la fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}2\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)& =& 2\left(\cos \left(2x\right)\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\sin \left(2x\right)\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)\\ & =& 2\left(\cos \left(2x\right)\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+\sin \left(2x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& \sqrt{3}\cos \left(2x\right)+\sin \left(2x\right)\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

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4. Résoudre sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$ l'équation $f\left(x\right)=1$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$ :$$\begin{array}{rcl}2\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=1& \iff & \cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}\cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\\ \cos \left(2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi \\ 2x-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi \end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \\ x=-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}+k\pi \end{array}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ sur l'intervalle $\left[0;2\pi \right]$ est $S=\left\{{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{11\pi }{12}};{\displaystyle \frac{5\pi }{4}};{\displaystyle \frac{23\pi }{12}}\right\}$.

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