contrôle du 24 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 5

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. $f_1$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f_1\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{x^2+1}}$.

   $f_1=1-{\displaystyle \frac{2}{u}}$ avec $u\ne 0$ d'où $f_1\prime =-\left(-{\displaystyle \frac{2u\prime }{u^2}}\right)={\displaystyle \frac{2u\prime }{u^2}}$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=x^2+1$ et $u\prime \left(x\right)=2x$

   Ainsi, $f_1\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f_1\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$

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2. $f_2$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f_2\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x^2-2x+3}{x^2-x+1}}$.

   $f_2$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables, $f_2={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f_2\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3x^2-2x+3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=6x-2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-x+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-1\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{f}_2\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(6x-2\right)\times \left(x^2-x+1\right)-\left(3x^2-2x+3\right)\times \left(2x-1\right)}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(6x^3-6x^2+6x-2x^2+2x-2\right)-\left(6x^3-4x^2+6x-3x^2+2x-3\right)}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2+1}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}\end{array}$$

   $f_2\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f_2\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-x^2}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}$.

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3. $g_1$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g_1\left(x\right)=\left(1-x^2\right)\left(2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$.

   $g_1=uv$ d'où $g_1\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=1-x^2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2x\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=2+{\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\end{array}$

   Donc pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{lll}{g}_1\prime \left(x\right)& =& -2x\times \left(2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\times \left(1-x^2\right)\\ & =& -4x-2-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+1\\ & =& -4x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-1\end{array}$$

   $g_1\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g_1\prime \left(x\right)=-4x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-1$.

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4. $g_2$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g_2\left(x\right)=\left(x+1\right)\sqrt{x}$.

   $g_2=uv$ d'où $g_2\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=\sqrt{x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\end{array}$

   Donc pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{lll}{g}_2\prime \left(x\right)& =& \sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\times \left(x+1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{x+1}{2\sqrt{x}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3x+1}{2\sqrt{x}}}\end{array}$$

   $g_2\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g_2\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3x+1}{2\sqrt{x}}}$.

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5. h est la fonction définie sur $\left]0;\pi \right[$ par $h\left(t\right)={\displaystyle \frac{\cos t}{\sin t}}$.

   Sur l'intervalle $\left]0;\pi \right[$, $\sin t\ne 0$.

   h est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables, $h={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $h\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel t de l'intervalle $\left]0;\pi \right[$: $\{\begin{array}{ccc}u\left(t\right)=\cos t& \text{d'où}& u\prime \left(t\right)=-\sin t\\ & \text{et}& \\ v\left(t\right)=\sin t& \text{d'où}& v\prime \left(t\right)=\cos t\end{array}$

   Soit pour tout réel t, $$\begin{array}{rcl}h\prime \left(t\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-\sin t\right)\times \left(\sin t\right)-\left(\cos t\right)\times \left(\cos t\right)}{{\sin }^{2}t}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-{\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t}{{\sin }^{2}t}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-1}{{\sin }^{2}t}}\end{array}$$

   $h\prime$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left]0;\pi \right[$ par $h\prime \left(t\right)=-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}t}}$.

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