contrôle du 24 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 7

On a représenté ci-dessous, la courbe ${𝒞}_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ ainsi que les tangentes à la courbe aux points A, B et C. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

1. Déterminer graphiquement $f\prime \left(1\right)$.

   La courbe ${𝒞}_f$ admet au point B d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses donc le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)=0$

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2. Déterminer graphiquement $f\prime \left(-2\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(-2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A de coordonnées $\left(-2;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ qui passe par l'origine du repère d'où $$f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{3}{2}}-0}{-2-0}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$.

   Ainsi, $f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

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3. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point C d'abscisse 4 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+b$. Quelle est la valeur de $f\prime \left(4\right)$ ? En déduire la valeur du réel b.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(4\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C d'où $f\prime \left(4\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.
   • La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point C de coordonnées $\left(4;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ a pour équation :$$\begin{array}{rcl}y=f\prime \left(4\right)\left(x-4\right)+f\left(4\right)& \text{Soit}& y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\left(x-4\right)-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & \iff & y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point C d'abscisse 4 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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