contrôle du 2 mars 2013

Corrigé de l'exercice 1

partie a : Lecture graphique

1. Donner la valeur de $f\prime \left(-2\right)$.

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-2\right)=0$.

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2. Déterminer le signe de $f\prime \left(0\right)$ et de $f\prime \left(6\right)$.

   Sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$ la fonction f est décroissante donc $f\prime \left(0\right)⩽0$.
   Sur l'intervalle $\left[4;+\infty \right[$ la fonction f est croissante donc $f\prime \left(6\right)⩾0$.

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partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4-6x}{x^2-2x+8}}$.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec les axes du repère.

   • $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$. La courbe ${𝒞}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

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   • Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{4-6x}{x^2-2x+8}}=0\\ & \iff & 4-6x=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

     La courbe ${𝒞}_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{2}{3}};0\right)$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{6x^2-8x-40}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}$.

      Le discriminant du polynôme $P\left(x\right)=x^2-2x+8$ est : $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times 8=-28\end{array}$. $\mathrm{\Delta }<0$ donc pour tout réel x, $x^2-2x+8>0$.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=4-6x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-6\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-2x+8& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-6\times \left(x^2-2x+8\right)-\left(2x-2\right)\times \left(4-6x\right)}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-6x^2+12x-48-8x+12x^2+8-12x}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{6x^2-8x-40}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{6x^2-8x-40}{{\left(x^2-2x+8\right)}^2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\left(x^2-2x+8\right)}^2>0$. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $6x^2-8x-40$ avec $a=6$, $b=-8$ et $c=-40$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-8\right)}^2-4\times 6\times \left(-40\right)=1024\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{8-32}{12}}=-2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{8+32}{12}}={\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{10}{3}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

   3. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{10}{3}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+
      Variations de f			1		$-{\displaystyle \frac{9}{7}}$

      calcul des extremum :

      • La fonction f admet un maximum relatif pour $x=-2$ :$$f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{4+12}{4+4+8}}=1$$

      • La fonction f admet un minimum relatif pour $x={\displaystyle \frac{10}{3}}$ : $$f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{4-20}{{\displaystyle \frac{100}{9}}-{\displaystyle \frac{20}{3}}+8}}=-{\displaystyle \frac{9}{7}}$$

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 2. Tracer la tangente T dans le repère précédent.

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation : $$y=f\prime \left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(2\right)={\displaystyle \frac{4-12}{4-4+8}}=-1& \text{et}& f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{24-16-40}{8^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-2\right)-1& \iff & y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}$$

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

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   La droite T passe par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(2;-1\right)$.

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