contrôle du 2 mars 2013

Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{ı},\overrightarrow{j}\right)$ on considère les points $A\left(1;4\right)$, $B\left(-2;0\right)$ et $C\left(5;1\right)$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :$$\begin{array}{cccccc}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}-2-1\\ 0-4\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\end{array}\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_A\\ y_C-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}5-1\\ 1-4\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{r}4\\ -3\end{array}\right)\end{array}$$

   Donc $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-3\times 4+\left(-4\right)\times \left(-3\right)=0$$

   $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.

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2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BA}$ sont $\overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$. Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_B\\ y_C-y_B\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}5+2\\ 1-0\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

   Donc $$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=3\times 7+4\times 1=25$$

   $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=25$.

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3. Calculer la valeur de l'angle $\widehat{ABC}$.

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=29& \iff & BA\times BC\times \cos \left(\widehat{ABC}\right)=25\\ & \iff & \cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{25}{BA\times BC}}\end{array}$$

   Calculons les distances BA et BC : $$\begin{array}{llll}& \overrightarrow{BA}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)& \text{d'où}& BA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\\ \text{et}& \overrightarrow{BC}\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)& \text{d'où}& BC=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\end{array}$$

   Par conséquent, $$\cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{25}{BA\times BC}}={\displaystyle \frac{25}{\sqrt{5}\times 5\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

   $\cos \left(\widehat{ABC}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ donc l'angle $\widehat{ABC}=45°$.

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4. En déduire la nature du triangle ABC.

   Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ donc le triangle ABC est rectangle en A. En outre, $\widehat{ABC}=45°$ on en déduit :

   ABC est un triangle rectangle en A et isocèle.

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