contrôle du 1^er juin 2013

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Traduire par une phrase l'évènement $C\cup F$. Calculer $P\left(C\cup F\right)$.

   $C\cup F$ désigne l'évènement « une perle prélevée au hasard présente une irrégularité de couleur ou de forme ».

   On sait que :

   • 24 % des perles présentent une irrégularité de couleur d'où $P\left(C\right)=\mathrm{0,24}$.
   • 16 % des perles présentent une irrégularité de forme d'où $P\left(F\right)=\mathrm{0,16}$.
   • 18 % des perles sont déclassées d'où $P\left(C\cap F\right)=\mathrm{0,18}$.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(C\cup F\right)=P\left(C\right)+P\left(F\right)-P\left(C\cap F\right)& \text{Soit}& P\left(C\cup F\right)=\mathrm{0,24}+\mathrm{0,16}-\mathrm{0,18}=\mathrm{0,22}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement : « une perle prélevée au hasard présente une irrégularité de couleur ou de forme » est égale à 0,22.

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2. Quelle est la probabilité que la perle choisie ne présente aucune irrégularité ?

   L'évènement « la perle choisie ne présente aucune irrégularité » est l'évènement contraire de l'évènement « la perle prélevée présente une irrégularité de couleur ou de forme » d'où $$P\left(\overline{C\cup F}\right)=1-\mathrm{0,22}=\mathrm{0,78}$$

   La probabilité que la perle choisie ne présente aucune irrégularité est égale à 0,78.

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partie b

On prélève au hasard un lot de 50 perles dans le stock, pour vérification. Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 50 perles à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 perles dans ce stock, associe le nombre de perles déclassées.

1. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.

      On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 perles dans ce stock donc X suit la loi binomiale $ℬ\left(50;\mathrm{0,18}\right)$ de paramètres $n=50$ et $p=\mathrm{0,18}$.

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   2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

      $$E\left(X\right)=50\times \mathrm{0,18}=9$$

      $E\left(X\right)=9$. Dans des lots de 50 perles on trouve en moyenne 9 perles déclassées.

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2. 1. Déterminer la probabilité de trouver 9 perles déclassées dans ce lot.

      À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X=9\right)=\left(\begin{array}{c}50\\ 9\end{array}\right)\times {\mathrm{0,18}}^9\times {\left(1-\mathrm{0,18}\right)}^{41}\approx \mathrm{0,145}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité de trouver 9 perles déclassées dans ce lot est 0,145.

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   2. Déterminer la probabilité qu'au moins deux perles du lot soient déclassées.

      À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X⩾2\right)=1-P\left(X⩽1\right)\approx \mathrm{0,9994}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins deux perles du lot soient déclassées est 0,999.

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   3. Déterminer la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 10 perles déclassées.

   $$\begin{array}{ll}& P\left(7⩽X⩽10\right)=P\left(X⩽10\right)-P\left(X<6\right)\\ \text{Soit}& P\left(7⩽X⩽10\right)\approx \mathrm{0,5387}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité de trouver dans ce lot entre 7 et 10 perles déclassées est 0,539.

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3. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de perles déclassées dans un échantillon de taille 50.

   • Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=4$

   • Le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=15$

   Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de perles déclassées dans un échantillon de taille 50 est :$$I=\left[{\displaystyle \frac{4}{50}};{\displaystyle \frac{15}{50}}\right]=\left[\mathrm{0,08};\mathrm{0,3}\right]$$

   Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de perles déclassées dans un échantillon de taille 50 est $I=\left[\mathrm{0,08};\mathrm{0,3}\right]$.

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