contrôles en première sti2d

contrôle du 1er juin 2013

Corrigé de l'exercice 2

    1. Vérifier que z2+2z+4=(z+1+i3)(z+1-i3).

      Pour tout nombre complexe z : (z+1+i3)(z+1-i3)=z2+z(1-i3)+z(1+i3)+(1+i3)(1-i3)=z2+z-z×i3+z+z×i3+1-(i3)2=z2+2z+4

      Ainsi, pour tout nombre complexe z, z2+2z+4=(z+1+i3)(z+1-i3).


    2. En déduire les solutions complexes de l'équation z2+2z+4=0.

      Pour tout nombre complexe z :z2+2z+4=0(z+1+i3)(z+1-i3)=0z+1+i3=0 ou z+1-i3=0z=-1-i3 ou z=-1+i3

      L'ensemble des solutions de l'équation z2+2z+4=0 est 𝒮={-1-i3;-1+i3}.


    1. Déterminer les nombres complexes z1 et z2 solutions du système suivant {-2z1+z2=33-iz1-z2=-23.

      {-2z1+z2=33-iz1-z2=-23{-z1=3-iL1L1+L2z1-z2=-23{z1=-3+iz2=3+i

      L'ensemble des solutions du système {-2z1+z2=33-iz1-z2=-23 est 𝒮={-3+i;3+i}.


    2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;u,v), d'unité graphique 2 cm, placer précisément les points A, B et C d'affixes respectives z1, z2 et z1.

      • Le module du nombre complexe z1=-3+i est : |z1|=3+1=2. Un argument θ du nombre complexe z1 est tel que :{cosθ=-32sinθ=12. D'où z1 a pour argument θ=5π6.
        Donc A est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté (u;OA)=5π6.
      • Le module du nombre complexe z2=3+i est : |z2|=3+1=2. Un argument θ du nombre complexe z2 est tel que :{cosθ=32sinθ=12. D'où z2 a pour argument θ=π6.
        Donc B est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté (u;OB)=π6.
      • Le point A a pour affixe le conjugé du point A donc C est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté (u;OC)=-5π6.
      Repère Ouv : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    3. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

      Calculons le produit scalaire AB.AC :

      • Les points A, B et C ont pour affixes respectives z1=-3+i, z2=3+i et z1=-3-i.
        Par conséquent, les points A, B et C ont pour coordonnées A(-3;1), B(3;1) et C(-3;-1).
      • Le vecteur AB a pour coordonnées AB(23;0) et, le vecteur AC a pour coordonnées AC(0;-2).
      • Donc AB.AC=23×0+0×(-2)=0.

      AB.AC=0 par conséquent, les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Donc le triangle ABC est rectangle en A.



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✉ A.Yallouz