contrôle du 1^er juin 2013

Corrigé de l'exercice 2

1. 1. Vérifier que $z^2+2z+4=\left(z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z+1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$.

      Pour tout nombre complexe z : $$\begin{array}{rcl}\left(z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z+1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)& =& z^2+z\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)+z\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)+\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\\ & =& z^2+z-z\times \mathrm{i}\sqrt{3}+z+z\times \mathrm{i}\sqrt{3}+1-{\left(\mathrm{i}\sqrt{3}\right)}^2\\ & =& z^2+2z+4\end{array}$$

      Ainsi, pour tout nombre complexe z, $z^2+2z+4=\left(z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z+1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$.

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   2. En déduire les solutions complexes de l'équation $z^2+2z+4=0$.

      Pour tout nombre complexe z :$$\begin{array}{rcl}{z}^2+2z+4=0& \iff & \left(z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\left(z+1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=0\\ & \iff & z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}=0\text{ ou }z+1-\mathrm{i}\sqrt{3}=0\\ & \iff & z=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\text{ ou }z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $z^2+2z+4=0$ est $𝒮=\{-1-\mathrm{i}\sqrt{3};-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\}$.

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2. 1. Déterminer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ solutions du système suivant $\{\begin{array}{l}-2z_1+z_2=3\sqrt{3}-\mathrm{i}\\ z_1-z_2=-2\sqrt{3}\end{array}$.

      $$\begin{array}{rcll}\{\begin{array}{l}-2z_1+z_2=3\sqrt{3}-\mathrm{i}\\ z_1-z_2=-2\sqrt{3}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lr}-z_1=\sqrt{3}-\mathrm{i}& L_1\leftarrow L_1+L_2\\ z_1-z_2=-2\sqrt{3}\end{array}& \\ & \iff & \{\begin{array}{l}{z}_1=-\sqrt{3}+\mathrm{i}\\ z_2=\sqrt{3}+\mathrm{i}\end{array}\end{array}$$

      L'ensemble des solutions du système $\{\begin{array}{l}-2z_1+z_2=3\sqrt{3}-\mathrm{i}\\ z_1-z_2=-2\sqrt{3}\end{array}$ est $𝒮=\{-\sqrt{3}+\mathrm{i};\sqrt{3}+\mathrm{i}\}$.

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   2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, d'unité graphique 2 cm, placer précisément les points A, B et C d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $\stackrel{—}{z_1}$.

      • Le module du nombre complexe $z_1=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $\left|z_1\right|=\sqrt{3+1}=2$. Un argument θ du nombre complexe $z_1$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où $z_1$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.
        Donc A est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}A}\right)={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.
      • Le module du nombre complexe $z_2=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $\left|z_2\right|=\sqrt{3+1}=2$. Un argument θ du nombre complexe $z_2$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$. D'où $z_2$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
        Donc B est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}B}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
      • Le point A a pour affixe le conjugé du point A donc C est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}C}\right)=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

   3. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

      Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ :

      • Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_1=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $z_2=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ et $\stackrel{—}{z_1}=-\sqrt{3}-\mathrm{i}$.
        Par conséquent, les points A, B et C ont pour coordonnées $A\left(-\sqrt{3};1\right)$, $B\left(\sqrt{3};1\right)$ et $C\left(-\sqrt{3};-1\right)$.
      • Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}\left(2\sqrt{3};0\right)$ et, le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AC}\left(0;-2\right)$.
      • Donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\times 0+0\times \left(-2\right)=0$.

      $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ par conséquent, les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Donc le triangle ABC est rectangle en A.

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