contrôle du 1^er juin 2013

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-1}{x^2+2}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f, calculer $f\prime \left(x\right)$.

   La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables, $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$.

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2\left(x^2+2\right)-2x\left(2x-1\right)}{{\left(x^2+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2+4-4x^2+2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2+2x+4}{{\left(x^2+2\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+2x+4}{{\left(x^2+2\right)}^2}}$.

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2. Étudier les variations de la fonction f.

   Pour tout réel x, ${\left(x^2+2\right)}^2>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-2x^2+2x+4$ avec $a=-2$, $b=2$ et $c=4$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4+32=36\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-2-6}{-4}}=2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-2+6}{-4}}=-1\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

   x	$-\infty$		$-1$		2		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f			$-1$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un minimum relatif en $-1$ et $f\left(-1\right)={\displaystyle \frac{-2-1}{1+2}}=-1$.
   • La fonction f admet un maximum relatif en 2 et $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{4-1}{4+2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse $-2$.

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-2$ a pour équation : $$y=f\prime \left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{-4-1}{4+2}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}& \text{et}& f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{-8-4+4}{6^2}}=-{\displaystyle \frac{2}{9}}\end{array}$$

   D'où une équation de la tangente T :$$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{2}{9}}\times \left(x+2\right)-{\displaystyle \frac{5}{6}}& \iff & y=-{\displaystyle \frac{2}{9}}x-{\displaystyle \frac{23}{18}}\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-2$ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{9}}x-{\displaystyle \frac{23}{18}}$.

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