contrôle du 2 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-2x\right)\left(\mathrm{0,5}{x}^2+1\right)$.

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $f=u\times v$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=1-2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -2\left(\mathrm{0,5}{x}^2+1\right)+x\left(1-2x\right)\\ & =& -x^2-2+x-2x^2\\ & =& -3x^2+x-2\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=-3x^2+x-2$

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2. g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.

   Pour tout réel x, $x^2+1>0$ donc g est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $g={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$.

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2\left(x^2+1\right)-2x\times 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2+2-4x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$

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3. h est la fonction définie sur $ℝ$ par $h\left(t\right)={\displaystyle \frac{\sin t}{2+\cos t}}$.

   Pour tout réel t, $2+\cos t⩾1$ donc h est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables, $h={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $h\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel t : $\{\begin{array}{ccc}u\left(t\right)=\sin t& \text{d'où}& u\prime \left(t\right)=\cos t\\ & \text{et}& \\ v\left(t\right)=2+\cos t& \text{d'où}& v\prime \left(t\right)=-\sin t\end{array}$.

   Soit pour tout réel t, $$\begin{array}{rcl}h\prime \left(t\right)& =& {\displaystyle \frac{\cos t\times \left(2+\cos t\right)-\sin t\times \left(-\sin t\right)}{{\left(2+\cos t\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2\cos t+{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}{{\left(2+\cos t\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2\cos t+1}{{\left(2+\cos t\right)}^2}}\end{array}$$

   $h\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $h\prime \left(t\right)={\displaystyle \frac{2\cos t+1}{{\left(2+\cos t\right)}^2}}$.

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