contrôle du 2 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 4

1. Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$ au point d'abscisse $-1$.

   La parabole d'équation $y=x^2-3x+5$ est la courbe représentative de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-3x+5$.

   Par conséquent, une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$ au point d'abscisse $-1$ est :$$y=f\prime \left(-1\right)\times \left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$

   Nous avons:

   • $f\left(-1\right)=1+3+5=9$.
   • Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=2x-3$. D'où $f\prime \left(-1\right)=-2-3=-5$.

   Donc une équation de la tangente à la parabole au point d'abscisse $-1$ est :$$\begin{array}{ccc}y=-5\times \left(x+1\right)+9& \iff & y=-5x+4\end{array}$$

   La tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$ au point d'abscisse $-1$ a pour équation $y=-5x+4$.

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2. Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2 est :$$y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

   Calculons la dérivée de la fonction f :

   Pour tout réel x, de l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $x-1>0$ donc f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x-1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$.

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2\left(x-1\right)-1\times 2x}{{\left(x-1\right)}^2}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}}\end{array}$$

   Nous avons donc $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{4}{2-1}}=4$ et $f\prime \left(2\right)=--2$.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2 est :$$\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-2\right)+4& \iff & y=-2x+8\end{array}$$

   La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2 a pour équation $y=-2x+8$.

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