contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 1

1. Traduire par une phrase l'évènement $C\cup I$. Donner la probabilité de l'évènement $C\cup I$.

   $C\cup I$ désigne l'évènement « une lentille prélevée au hasard présente au moins un des deux défauts », d'où $P\left(C\cup I\right)=\mathrm{0,12}$.

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2. Calculer la probabilité de l'évènement « une lentille prélevée au hasard présente les deux défauts ».

   L'évènement « une lentille prélevée au hasard présente les deux défauts » est l'evènement $C\cap I$. Or $$\begin{array}{rcl}P\left(C\cup I\right)=P\left(C\right)+P\left(I\right)-P\left(C\cap I\right)& \iff & P\left(C\cap I\right)=P\left(C\right)+P\left(I\right)-P\left(C\cup I\right)\\ & \text{Soit}& P\left(C\cap I\right)=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,07}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,03}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement : « une lentille prélevée au hasard présente les deux défauts » est égale à 0,03.

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partie b

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces lentilles avant leur mise en vente. Dans le stock de lentilles commercialisées par l'entreprise, on admet que 3 % des lentilles mises en vente après ce contrôle sont défectueuses.
Les lentilles sont vendues par lot de 100 pièces. Le stock est suffisamment important pour assimiler un lot à un tirage aléatoire avec remise.
Pour un lot de 100 lentilles, on note X la variable aléatoire égale au nombre de lentilles défectueuses.

1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

   Le stock est suffisamment important pour assimiler un lot à un tirage aléatoire avec remise donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $P=\mathrm{0,03}$.

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2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$. Interpréter le résultat.

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $P=\mathrm{0,03}$ donc $$E\left(X\right)=100\times \mathrm{0,03}=3$$

   $E\left(X\right)=3$. Dans des lots de 100 lentilles on trouve en moyenne 3 lentilles défectueuses.

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3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $\left[0;100\right]$.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   0	0,047 553	4	0,817 855	8	0,996 784
   1	0,194 622	5	0,919 163	9	0,999 126
   2	0,419 775	6	0,968 772	10	0,999 785
   3	0,647 249	7	0,989 376	11	0,999 952

   À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice, déterminer :

   1. la probabilité qu'au moins une lentille du lot a un défaut ;

      $$\begin{array}{lrcl}& P\left(X⩾1\right)& =& 1-P\left(X<1\right)\\ \text{Soit}& P\left(X⩾1\right)& =& 1-P\left(X=0\right)\\ & & \approx & 1-\mathrm{0,047553}=\mathrm{0,952447}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins une lentille du lot a un défaut est 0,952.

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   2. la probabilité de trouver trois lentilles qui ont un défaut ;

      • À l'aide du tableau :$$\begin{array}{lrcl}& P\left(X=3\right)& =& P\left(X⩽3\right)-P\left(X⩽2\right)\\ \text{soit}& P\left(X=3\right)& \approx & \mathrm{0,647249}-\mathrm{0,419775}=\mathrm{0,227474}\end{array}$$
      • À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X=3\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 3\end{array}\right)\times {\mathrm{0,03}}^3\times {\left(1-\mathrm{0,03}\right)}^{97}\approx \mathrm{0,227474}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité de trouver trois lentilles qui ont un défaut est 0,227.

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   3. $P\left(1⩽X⩽7\right)$, la probabilité que le nombre de lentilles défectueuses dans un lot de 100 soit compris entre 1 et 7.

      $$\begin{array}{lrcl}& P\left(1⩽X⩽7\right)& =& P\left(X⩽7\right)-P\left(X<1\right)\\ \text{Soit}& P\left(1⩽X⩽7\right)& =& P\left(X⩽7\right)-P\left(X=0\right)\\ & & \approx & \mathrm{0,989376}-\mathrm{0,047553}=\mathrm{0,941823}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que le nombre de lentilles défectueuses dans un lot de 100 soit compris entre 1 et 7 est 0,942.

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4. Un client achète un lot de 100 lentilles. Après réception, ce client trouve 10 lentilles défectueuses.

   1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de lentilles défectueuses dans un échantillon de taille 100.

      • Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=2$

      • Le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=7$

      Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de perles déclassées dans un échantillon de taille 100 est :$$I=\left[{\displaystyle \frac{2}{100}};{\displaystyle \frac{7}{100}}\right]=\left[\mathrm{0,02};\mathrm{0,07}\right]$$

      Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de lentilles défectueuses dans un échantillon de taille 100 est $I=\left[\mathrm{0,02};\mathrm{0,07}\right]$.

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   2. Le lot acheté par ce client est-il représentatif des lots mis en vente ?

      La fréquence du nombre de lentilles défectueuses dans ce lot est :$$f={\displaystyle \frac{10}{100}}=\mathrm{0,1}$$

      $\mathrm{0,1}\notin \left[\mathrm{0,02};\mathrm{0,07}\right]$. La fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation à 95 %, le lot acheté par ce client n'est pas représentatif des lots mis en vente.

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