contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ donné ci-dessous.
Soient A, B et C les points dont les affixes respectives sont $z_A=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, $z_B=-z_A$ et $z_C={z_A}^2$.

1. Donner l'écriture algébrique de $z_B$ et $z_C$.

   • $z_B=-z_A$ donc $z_B=-1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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   • $$\begin{array}{rcl}{z}_C={z_A}^2& \iff & z_C={\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)}^2\\ & \iff & z_C=1+2\mathrm{i}\sqrt{3}+3{\mathrm{i}}^2\\ & \iff & z_C=-2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\end{array}$$

     $z_C=-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}$.

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2. 1. Déterminer une écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

      Pour déterminer une écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$, on calcule le module et un argument de chacun de ces nombres :

      • Le module du nombre complexe $z_A=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ est : $\left|z_A\right|=\sqrt{1+3}=2$. Un argument θ du nombre complexe $z_A=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$. D'où $\arg \left(z_A\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

      • $z_B=-z_A$ d'où $\left|z_B\right|=\left|z_A\right|=2$ et $\arg \left(z_B\right)=\arg \left(z_A\right)-\pi =-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

      • Le module du nombre complexe $z_C=-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}$ est : $\left|z_C\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+4\times 3}=4$. Un argument θ du nombre complexe $z_C=-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}$ est tel que :$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$. D'où $\arg \left(z_C\right)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

      Ainsi, $z_A=2\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$, $z_B=2\times \left[\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\right]$ et $z_C=4\left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$.

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   2. Placer les points A, B et C dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

      • $\left|z_A\right|=2$ et $\arg \left(z_A\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ donc A est le point du cercle de centre O de rayon 2 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}A}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
      • $z_B=-z_A$ donc B est le symétrique du point A par rapport à O.
      • $\left|z_C\right|=4$ et $\arg \left(z_C\right)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ donc C est le point du cercle de centre O de rayon 4 tel que l'angle orienté $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}C}\right)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

3. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

   Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ soit : $$z_{\overrightarrow{AB}}=\left(-1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)-\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=-2-2\sqrt{3}\mathrm{i}$$

   Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A$ soit : $$z_{\overrightarrow{AC}}=\left(-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}\right)-\left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=-3+\sqrt{3}\mathrm{i}$$

   Dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ le produit scalaire $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$ est : $$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\left(-2\right)\times \left(-3\right)+\left(-2\sqrt{3}\right)\times \sqrt{3}=0$$

   Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$ donc ABC est un triangle rectangle en A.

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4. Résoudre dans $ℂ$ l'équation d'inconnue z : $\mathrm{i}z=\sqrt{3}+\mathrm{i}$. On notera $z_D$ la solution de l'équation que l'on écrira sous sa forme algébrique.

   $$\begin{array}{rcl}\mathrm{i}z=\sqrt{3}+\mathrm{i}& \iff & {\mathrm{i}}^{2}z=\mathrm{i}\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)\\ & \iff & -z=\mathrm{i}\sqrt{3}+{\mathrm{i}}^2\\ & \iff & z=1-\mathrm{i}\sqrt{3}\end{array}$$

   L'équation : $\mathrm{i}z=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ a pour solution $z_D=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.

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5. 1. Placer dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, les points D d'affixe $z_D$ et E d'affixe $z_E=\stackrel{—}{z_B}$.

      • $z_D=\stackrel{—}{z_A}$ donc D est le symétrique du point A par rapport à l'axe des abscisses.
      • $z_E=\stackrel{—}{z_B}$ donc E est le symétrique du point B par rapport à l'axe des abscisses.

   2. Les points C, D et E sont-ils alignés ?

      Le vecteur $\overrightarrow{CD}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{CD}}=z_D-z_C$ soit : $$z_{\overrightarrow{CD}}=\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)-\left(-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}\right)=3-3\sqrt{3}\mathrm{i}$$

      $z_E=\stackrel{—}{z_B}$ donc $z_E=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$. Le vecteur $\overrightarrow{CE}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{CE}}=z_E-z_C$ soit : $$z_{\overrightarrow{CE}}=\left(-1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)-\left(-2+2\sqrt{3}\mathrm{i}\right)=1-\sqrt{3}\mathrm{i}$$

      Ainsi, $\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{CE}$. Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires donc les points C, D et E sont alignés.

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