contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 2

Écrire sous la forme algébrique $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants :

1. $z_1=\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\left(1-\sqrt{3}\mathrm{i}\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\left(1-\sqrt{3}\mathrm{i}\right)& =& \sqrt{3}-3\mathrm{i}-\mathrm{i}+\sqrt{3}{\mathrm{i}}^2\\ & =& \sqrt{3}-4\mathrm{i}-\sqrt{3}\\ & =& -4\mathrm{i}\end{array}$$

   Ainsi, $z_1=-4\mathrm{i}$.

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2. $z_2={\displaystyle \frac{3\mathrm{i}}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}}$.

   $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{3\mathrm{i}}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}}& =& {\displaystyle \frac{3\mathrm{i}\left(\sqrt{2}+\mathrm{i}\right)}{\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{2}+\mathrm{i}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\mathrm{i}+3{\mathrm{i}}^2}{2-{\mathrm{i}}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\mathrm{i}-3}{2+1}}\\ & =& -1+\sqrt{2}\mathrm{i}\end{array}$$

   Ainsi, $z_2=-1+\sqrt{2}\mathrm{i}$.

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3. $z_3$ de module $\left|z_3\right|=2\sqrt{2}$ et d'argument $\arg \left(z_3\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

   Le nombre complexe $z_3$ est de module $2\sqrt{2}$ et d'argument $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ d'où $$\begin{array}{rcl}{z}_3=2\sqrt{2}\times \left[\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]& \iff & z_3=2\sqrt{2}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}\right)\\ & \iff & z_3=\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}\end{array}$$

   Ainsi, $z_3=\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}$.

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