sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Calculer, en unités d'aire, l'aire S de la partie coloriée.

   • f est la restriction à l'intervalle $\left[0;6\right]$ d'une fonction polynôme du second degré avec $a={\displaystyle \frac{3}{4}}$, $b=-3$ et $c=6$. Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x={\displaystyle \frac{3\times 2}{3}}=2$.

     D'autre part, $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}\times 4-3\times 2+6=3$. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ on a $f\left(x\right)⩾3$

   • Sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ la fonction f est positive par conséquent, l'aire S, exprimée en unités d'aire, de la partie hachurée limitée par la courbe $\left({𝒞}_f\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=6$ est : $$\begin{array}{rcl}S={\displaystyle {\int }_0^6\left({\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-3x+6\right)\mathrm{d}x}& =& {\left[{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+6x\right]}_0^6\\ & =& \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\times 6^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 6^2+6\times 6\right)-0=36\end{array}$$

   L'aire S de la partie hachurée est égale à 36 unités d'aire.

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2. On considère un point M appartenant à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ d'abscisse x avec $x\in [0;6]$.
   La parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe l'axe des abscisses en un point H.
   La parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe l'axe des ordonnées en un point K.
   On appelle $R\left(x\right)$ l'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK.

   Prouver que, pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[0;6\right]$, $R\left(x\right)=\mathrm{0,75}{x}^3-3x^2+6x$.

   Les coordonnées du point M sont $\left(x;f\left(x\right)\right)$. L'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK est égale à $OH\times OK$. Soit pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[0;6\right]$, $$\begin{array}{lll}R\left(x\right)& =& x\times f\left(x\right)\\ & =& x\times \left({\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-3x+6\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^3-3x^2+6x\end{array}$$

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   Ainsi pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[0;6\right]$, $R\left(x\right)=\mathrm{0,75}{x}^3-3x^2+6x$

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3. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ telles que l'aire $R\left(x\right)$ du rectangle OHMK soit égale à l'aire coloriée S.

   1. Montrer que le problème précédent revient à résoudre l'équation $g\left(x\right)=0$ où g est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par : $g\left(x\right)=\mathrm{0,75}{x}^3-3x^2+6x-36$

      L'aire du rectangle OHMK est égale à l'aire hachurée S pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[0;6\right]$ tel que $R\left(x\right)=36$. Soit pour x appartenant à l'intervalle $\left[0;6\right]$ et solution de l'équation $$\mathrm{0,75}{x}^3-3x^2+6x=36\iff \mathrm{0,75}{x}^3-3x^2+6x-36=0$$

      Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $g\left(x\right)=\mathrm{0,75}{x}^3-3x^2+6x-36$, le problème revient à résoudre l'équation $g\left(x\right)=0$.

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   2. Étudier les variations de g sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ et dresser le tableau de variation de g.
      En déduire que l'équation $g\left(x\right)=0$ admet sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ une solution unique α. Donner une valeur approchée de α au centième.

      Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée. Soit $g\prime$ la dérivée de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ on a : $$g\prime \left(x\right)=3\times \mathrm{0,75}{x}^2-2\times 3x+6=\mathrm{2,25}{x}^2-6x+6$$

      $g\prime$ est une fonction polynôme du second degré restreinte à l'intervalle $\left[0;6\right]$.
      Le discriminant $\mathrm{\Delta }={\left(-6\right)}^2-4\times \mathrm{2,25}\times 6=-18$. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;6\right]$ : $g\prime \left(x\right)>0$.

      D'autre part, $g\left(0\right)=-36$ et $g\left(6\right)=\mathrm{0,75}\times 6^3-3\times 6^2+6\times 6-36=54$.

      Tableau de variation de la fonction g

      x	0		6
      Signe de $g\prime \left(x\right)$		+
      Variations de g	– 36		54

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      Ainsi, g est une fonction dérivable donc continue, strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ et $0\in ]g\left(0\right);g\left(6\right)[$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. il existe un unique réel $\alpha \in ]0;6[$ tel que $g\left(\alpha \right)=0$.

      L'équation $g\left(x\right)=0$ admet sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ une solution unique α. La valeur arrondie au centième de α obtenue à la calculatrice est 4,56.

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