Baccalauréat session 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Nouvelle Calédonie

exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 06 par :fx=34x2-3x+6 La courbe 𝒞f ci-contre est représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan d'origine O.
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=6.


  1. Calculer, en unités d'aire, l'aire S de la partie coloriée.

  2. On considère un point M appartenant à la courbe 𝒞f d'abscisse x avec x[0;6].
    La parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe l'axe des abscisses en un point H.
    La parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe l'axe des ordonnées en un point K.
    On appelle Rx l'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK.

    Prouver que, pour tout x appartenant à l'intervalle 06, Rx=0,75x3-3x2+6x.

  3. On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l'intervalle 06 telles que l'aire Rx du rectangle OHMK soit égale à l'aire coloriée S.

    1. Montrer que le problème précédent revient à résoudre l'équation gx=0g est la fonction définie sur l'intervalle 06 par : gx=0,75x3-3x2+6x-36.

    2. Étudier les variations de g sur l'intervalle 06 et dresser le tableau de variation de g.
      En déduire que l'équation gx=0 admet sur l'intervalle 06 une solution unique α. Donner une valeur approchée de α au centième.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans une ville, deux fournisseurs d'accès au réseau internet sont en concurrence.
Pour étudier l'évolution du nombre d'abonnés à ces deux fournisseurs A et B, on a reporté dans le tableau suivant, à la fin de chaque année, le nombre total d'abonnés déclaré par chacun des deux fournisseurs.

Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang xi de l'année 1 2 3 4 5 6
Nombre total yi d'abonnés par le fournisseur A 975 1443 2049 2930 4220 5850
Nombre total t i d'abonnés par le fournisseur B 4012 4813 5872 7281 8664 10432

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Recopier les deux dernières lignes du tableau suivant en les complétant.
    On détaillera chacun des quatre calculs et on arrondira les résultats à l'entier le plus proche.

      Augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004 Pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004 Pourcentage annuel moyen d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004
    Fournisseur A 500% … %
    Fournisseur B 6420 … % … %
    1. L'allure du nuage de points associé à la série statistique xiyi permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose Yi=lnyi.

      Écrire une équation de la droite (d ) d'ajustement de Y en x par la méthode des moindres carrés.
      Les calculs seront faits avec la calculatrice (sans justification) et les résultats finaux seront arrondis au millième.

    2. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre d'abonnés au fournisseur A en 2006.

  2. L'allure du nuage de points associé à la série statistique xiti permet d'envisager un ajustement exponentiel.
    En posant Ti=lnti, on obtient, par la méthode des moindre carrés, une équation de la droite ( Δ ) d'ajustement de T en x sous la forme : T=0,193x+8,102 (ce résultat est admis).

    En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre d'abonnés au fournisseur B en 2006.

  3. En supposant que les ajustements précédents restent pertinents, préciser l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au fournisseur A dépassera le nombre d'abonnés au fournisseur B. Justifier.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le bénéfice B d'une entreprise dépend à la fois des investissements et de la production.

On appelle x le montant des investissements en millions d'euros et y la quantité produite en milliers d'unités.
On admet que le bénéfice B de cette entreprise, exprimé en millions d'euros, est modélisé par la fonction B définie par Bxy=x2ye-x.

Voici une vue de la surface (S) d'équation z=x2ye-x, avec x élément de l'intervalle 05 et y élément de l'intervalle 010, dans un repère orthogonal de l'espace.

Surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer par lecture graphique le montant des investissements et la valeur de la production qui permettent d'obtenir un bénéfice maximal quand x appartient à l'intervalle 05 et y appartient à l'intervalle 010. Calculer la valeur correspondante de ce bénéfice.

    1. Sur la figure ci-dessus, on a placé le point A appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse xA=1 et pour ordonnée yA=8. Calculer la troisième coordonnée zA du point A.

    2. Sur la figure ci-dessus, on a placé le point E appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse xE=2 et pour troisième coordonnée zE=zA. Calculer la valeur exacte yE de l'ordonnée du point E.

  2. Quelle est la nature de l'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation x=1 ? Justifier.
    Tracer cette intersection dans un plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm, y appartenant à l'intervalle 010.
    Déterminer, à l'euro près, le montant en euros du bénéfice maximal réalisé par l'entreprise quand le montant des investissements est fixé à 1 million d'euros.

  3. Déterminer une équation de la courbe d'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation y=10.
    Expliquer alors comment retrouver le résultat de la question 1.


exercice 3 ( 9 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 2+ par : fx=ln2x-4.
On appelle 𝒞f la courbe tracée ci-dessous, représentative de f dans un repère orthonormal.

    1. Déterminer limx+fx et limx2fx. Que peut-on en déduire pour la courbe 𝒞f ?

    2. Étudier le sens de variation de f sur l'intervalle 2+ et dresser son tableau de variation.

    3. La courbe 𝒞f coupe l'axe des abscisses au point A. Quelles sont les coordonnées exactes de A ?

    4. Déterminer une équation de la droite (T) tangente en A à la courbe 𝒞f.

    Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Sur la figure ci-dessus, on a tracé la courbe 𝒞f, le point A, la droite (T) et la droite (D) d'équation y=x.
    Par la symétrie axiale d'axe (D), la courbe 𝒞f se transforme en une courbe 𝒞g représentative d'une fonction g définie dans .
    On admet que, pour tout x réel, gx s'écrit sous la forme gx=a+bexa et b sont deux nombres réels.
    La courbe 𝒞g ainsi construite passe par le point A ' image de A par la symétrie d'axe (D).
    De plus, la courbe 𝒞g admet au point A ' une tangente (T ') qui est l'image de la droite (T) par la symétrie d'axe (D).

    1. Donner, sans justification, le coefficient directeur de la droite (T ').

    2. Calculer a et b en justifiant soigneusement les calculs.

    3. Calculer l'ordonnée exacte du point E appartenant à 𝒞g et ayant pour abscisse 2.

    4. Quelles sont les coordonnées du point E ' image de E par la symétrie d'axe (D)?

    1. Calculer la valeur exacte de 022+12exdx .

    2. En déduire l'aire 𝒜, en unités d'aire, du domaine hachuré défini par la courbe 𝒞g, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E. On demande la valeur exacte du résultat.

    3. Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs, la valeur exacte de 522+12e2fxdx.



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✉ A.Yallouz

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