Baccalauréat session 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans une ville, deux fournisseurs d'accès au réseau internet sont en concurrence.
Pour étudier l'évolution du nombre d'abonnés à ces deux fournisseurs A et B, on a reporté dans le tableau suivant, à la fin de chaque année, le nombre total d'abonnés déclaré par chacun des deux fournisseurs.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x_{i}$ de l'année	1	2	3	4	5	6
Nombre total $y_{i}$ d'abonnés par le fournisseur A	975	1443	2049	2930	4220	5850
Nombre total t_i d'abonnés par le fournisseur B	4012	4813	5872	7281	8664	10432

Recopier les deux dernières lignes du tableau suivant en les complétant. On détaillera chacun des quatre calculs et on arrondira les résultats à l'entier le plus proche.

Fournisseur A

Augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004 : $5850 - 975 = 4875$
Pourcentage annuel moyen d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004

Soit t % le pourcentage annuel moyen de la hausse sur cinq ans. On a alors $\begin{array}{rcl} {(1 + \frac{t}{100})}^{5} = 1 + \frac{500}{100} & \Leftrightarrow & 1 + \frac{t}{100} = 6^{\frac{1}{5}} \\ \Leftrightarrow & \frac{t}{100} = 6^{0,2} - 1 \\ \Leftrightarrow & t = (6^{0,2} - 1) \times 100 \approx 43 \end{array}$

Fournisseur B

Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2004 est égal à : $\frac{10432}{4012} \approx 2,6$ . Soit un pourcentage d'augmentation de 160%
Soit t % le pourcentage annuel moyen de la hausse sur cinq ans. On a alors $\begin{array}{rcl} {(1 + \frac{t}{100})}^{5} = 1 + \frac{160}{100} & \Leftrightarrow & 1 + \frac{t}{100} = {2,6}^{\frac{1}{5}} \\ \Leftrightarrow & \frac{t}{100} = {2,6}^{0,2} - 1 \\ \Leftrightarrow & t = ({2,6}^{0,2} - 1) \times 100 \approx 21 \end{array}$

Nous pouvons compléter le tableau :

	Augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004	Pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004	Pourcentage annuel moyen d'augmentation du nombre d'abonnés entre 1999 et 2004
Fournisseur A	4875	500%	43%
Fournisseur B	6420	160%	21%

1. L'allure du nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose $Y_{i} = \ln (y_{i})$ .
  
  Écrire une équation de la droite (d ) d'ajustement de Y en x par la méthode des moindres carrés.
  Les calculs seront faits avec la calculatrice (sans justification) et les résultats finaux seront arrondis au millième.
  
  L'équation de la droite (d ) d'ajustement de Y en x par la méthode des moindres carrés est obtenue à la calculatrice en rentrant les deux séries $x_{i}$ et $Y_{i} = \ln (y_{i})$ .
  
  Rang $x_{i}$ de l'année 1 2 3 4 5 6
  
  Nombre total $y_{i}$ d'abonnés par le fournisseur A 975 1443 2049 2930 4220 5850
  
  Série $Y_{i} = \ln (y_{i})$ ln 975 ln 1443 ln 2049 ln 2930 ln 4220 ln 5850
  
  Une équation de la droite d'ajustement de Y en x, par la méthode des moindres carrés est : $Y = 0,358 x + 6,544$ (coefficients arrondis à 10^-3près)
2. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre d'abonnés au fournisseur A en 2006.
  
  Le rang de l'année 2006 est égal à 8. D'où une estimation du nombre y d'abonnés en 2006 : $\begin{array}{rcl} \ln (y) = 0,358 \times 8 + 6,544 & \Leftrightarrow & \ln (y) = 9,408 \\ \Leftrightarrow & y = e^{9,408} \approx 12185 \end{array}$
  
  En 2006 le nombre d'abonnés au fournisseur A sera d'environ 12 185.
L'allure du nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; t_{i})$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.
En posant $T_{i} = \ln (t_{i})$ , on obtient, par la méthode des moindre carrés, une équation de la droite ( Δ ) d'ajustement de T en x sous la forme : $T = 0,193 x + 8,102$ (ce résultat est admis).

En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre d'abonnés au fournisseur B en 2006.

Une estimation du nombre t d'abonnés au fournisseur B en 2006 est : $\begin{array}{rcl} \ln (t) = 0,193 \times 8 + 8,102 & \Leftrightarrow & \ln (t) = 9,646 \\ \Leftrightarrow & t = e^{9,646} \approx 15460 \end{array}$

En 2006 le nombre d'abonnés au fournisseur B sera d'environ 15 460.
En supposant que les ajustements précédents restent pertinents, préciser l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au fournisseur A dépassera le nombre d'abonnés au fournisseur B. Justifier.

Exprimons l'estimation du nombre total y d'abonnés au fournisseur A en fonction du rang de x l'année :

$Y = \ln (y)$ et $Y = 0,358 x + 6,544$ , alors $y = e^{0,358 x + 6,544}$ ( Voir la propriété )Pour tout réel x et tout réel y > 0, $\ln (y) = x \Leftrightarrow y = e^{x}$

Exprimons l'estimation du nombre total t d'abonnés au fournisseur B en fonction du rang x de l'année :

$T = \ln (t)$ et $T = 0,193 x + 8,102$ , alors $t = e^{0,193 x + 8,102}$

Ainsi l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au fournisseur A dépassera le nombre d'abonnés au fournisseur B est le plus petit entier n tel que : $\begin{array}{l} e^{0,358 n + 6,544} > e^{0,193 n + 8,102} & \Leftrightarrow & 0,358 n + 6,544 > 0,193 n + 8,102 & Pour tous réels a et b : e^{a} > e^{b} équivaut à a > b \\ \Leftrightarrow & 0,358 n - 0,193 n > 8,102 - 6,544 \\ \Leftrightarrow & 0,165 n > 1,558 \\ \Leftrightarrow & n > \frac{1,558}{0,165} \end{array}$

Comme $\frac{1,558}{0,165} \approx 9,4$ , le plus petit entier n tel que $n > \frac{1,558}{0,165}$ est égal à 10.

En supposant que les ajustements précédents restent pertinents, le nombre d'abonnés au fournisseur A dépassera le nombre d'abonnés au fournisseur B en 2008.

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