sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer par lecture graphique le montant des investissements et la valeur de la production qui permettent d'obtenir un bénéfice maximal quand x appartient à l'intervalle $\left[0;5\right]$ et y appartient à l'intervalle $\left[0;10\right]$. Calculer la valeur correspondante de ce bénéfice.

   Graphiquement le bénéfice est maximal pour un point de la surface S dont la cote est maximale.

   Le montant des investissements et la valeur de la production qui permettent d'obtenir ce bénéfice maximal, sont respectivement $x=2$ et $y=10$.

   Le bénéfice B , exprimé en millions d'euros, est $$B\left(2;10\right)=2^2\times 10\times {\mathrm{e}}^{-2}=40{\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{5,413}$$

   Le bénéfice maximal est de 5,413 millions d'euros (arrondi au millier d'euros)

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2. 1. Sur la figure ci-dessus, on a placé le point A appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse $x_A=1$ et pour ordonnée $y_A=8$. Calculer la troisième coordonnée $z_A$ du point A.

      Le point A appartient à la surface (S) d'où $$z_A=1^2\times 8\times {\mathrm{e}}^{-1}=8{\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{8}{\mathrm{e}}}$$

      Les coordonnées du point A sont $A\left(1;8;{\displaystyle \frac{8}{\mathrm{e}}}\right)$

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   2. Sur la figure ci-dessus, on a placé le point E appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse $x_E=2$ et pour troisième coordonnée $z_E=z_A$. Calculer la valeur exacte $y_E$ de l'ordonnée du point E.

      L'ordonnée $y_E$ du point $E\left(2;y_E;8{\mathrm{e}}^{-1}\right)$ est solution de l'équation : $$2^2\times y_E\times {\mathrm{e}}^{-2}=8{\mathrm{e}}^{-1}\iff y_E={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^{-1}}{4{\mathrm{e}}^{-2}}}=2\mathrm{e}$$

      Les coordonnées du point E sont $E\left(2;2\mathrm{e};{\displaystyle \frac{8}{\mathrm{e}}}\right)$

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      Remarque :
      Les points A et E ayant la même cote sont deux points de la courbe intersection de la surface (S) avec le plan d'équation $z=8{\mathrm{e}}^{-1}$.

3. Quelle est la nature de l'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation $x=1$ ? Justifier.
   Tracer cette intersection dans un plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm, y appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$.
   Déterminer, à l'euro près, le montant en euros du bénéfice maximal réalisé par l'entreprise quand le montant des investissements est fixé à 1 million d'euros.

   Les coordonnées des points $M\left(1;y;z\right)$ de la courbe intersection de la surface (S) avec le plan d'équation $x=1$ vérifient :$$z=y{\mathrm{e}}^{-1}$$

   Dans le plan $x=1$, parallèle au plan de base (yOz), $z=y{\mathrm{e}}^{-1}$ est l'équation d'une droite.

   La courbe de niveau $x=1$ est un segment de droite.

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   La fonction $f:y\to y{\mathrm{e}}^{-1}$ définie pour tout y appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$ est la restriction d'une fonction linéaire de coefficient ${\mathrm{e}}^{-1}>0$.

   La fonction f est donc strictement croissante sur $\left[0;10\right]$, son maximum est atteint pour $y=10$. Donc le bénéfice maximal est $$B\left(1;10\right)=1\times 10\times {\mathrm{e}}^{-1}=10{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{3,678794}$$ millions d'euros.

   Quand le montant des investissements est fixé à 1 million d'euros, le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise est de 3 678 794 euros.

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4. Déterminer une équation de la courbe d'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation $y=10$.
   Expliquer alors comment retrouver le résultat de la question 1.

   • L'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation $y=10$ est la courbe de niveau $y=10$.

     La courbe de niveau $y=10$ a pour équation : $z=10x^2{\mathrm{e}}^{-x}$

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   • Si le montant des investissements est fixé pour une valeur k de l'intervalle $\left[0;5\right]$, le bénéfice $B_k$ est alors fonction de la quantité produite y. Il est égal à $B_k\left(y\right)=k^2{\mathrm{e}}^{-k}y$ avec y appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$.

     Le bénéfice $B_k$ est alors proportionnel à la quantité de production. Comme le coefficient de proportionnalité $k^2{\mathrm{e}}^{-k}>0$ alors, le bénéfice est alors maximal pour une production y maximale, c'est à dire pour $y=10$.

     Pour trouver le montant des investissements permettant d'obtenir un bénéfice maximal, il suffit donc de chercher le maximum de la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $g\left(x\right)=10x^2{\mathrm{e}}^{-x}$.

     Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée $g\prime$ sur l'intervalle $\left[0;5\right]$.

     g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$avec $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=10x^2& \text{;}& u\prime \left(x\right)=20x\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$ $$.

     D'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $$g\prime \left(x\right)=20x{\mathrm{e}}^{-x}-10x^2{\mathrm{e}}^{-x}=\left(20x-10x^2\right){\mathrm{e}}^{-x}=10x\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

     Comme sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, $10x⩾0$ et ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ alors, $g\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(2-x\right)$.

     À partir du signe de la dérivée nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction g.

     x	0		2		5
     Signe de $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	–
     Variations de g	0		$40{\mathrm{e}}^{-2}$		$250{\mathrm{e}}^{-5}$

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     On retrouve le résultat de la question 1 : le bénéfice maximal est obtenu pour un investissement de 2 millions d'euros et pour une production de 10 milliers d'unités.

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