Le bénéfice B d'une entreprise dépend à la fois des investissements et de la production.
On appelle x le montant des investissements en millions d'euros et y la quantité produite en milliers d'unités.
On admet que le bénéfice B de cette entreprise, exprimé en millions d'euros, est modélisé par la fonction B définie par .
Voici une vue de la surface (S) d'équation , avec x élément de l'intervalle et y élément de l'intervalle , dans un repère orthogonal de l'espace.
Déterminer par lecture graphique le montant des investissements et la valeur de la production qui permettent d'obtenir un bénéfice maximal quand x appartient à l'intervalle et y appartient à l'intervalle . Calculer la valeur correspondante de ce bénéfice.
Graphiquement le bénéfice est maximal pour un point de la surface S dont la cote est maximale.
Sur la figure ci-dessus, on a placé le point A appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse et pour ordonnée . Calculer la troisième coordonnée du point A.
Les coordonnées du point A vérifient l'équation de la surface.
Sur la figure ci-dessus, on a placé le point E appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse et pour troisième coordonnée . Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point E.
Quelle est la nature de l'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation ? Justifier.
Tracer cette intersection dans un plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm, y appartenant à l'intervalle .
Déterminer, à l'euro près, le montant en euros du bénéfice maximal réalisé par l'entreprise quand le montant des investissements est fixé à 1 million d'euros.
Déterminer une équation de la courbe de niveau .
Déterminer une équation de la courbe d'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation .
Expliquer alors comment retrouver le résultat de la question 1.
Si le montant des investissements est fixé pour une valeur k de l'intervalle , montrer que le bénéfice est maximal pour . On se ramène alors à l'étude d'une fonction d'une variable sur l'intervalle .
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