Baccalauréat session 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le bénéfice B d'une entreprise dépend à la fois des investissements et de la production.

On appelle x le montant des investissements en millions d'euros et y la quantité produite en milliers d'unités.
On admet que le bénéfice B de cette entreprise, exprimé en millions d'euros, est modélisé par la fonction B définie par B(xy)=x2ye-x.

Voici une vue de la surface (S) d'équation z=x2ye-x, avec x élément de l'intervalle [0;5] et y élément de l'intervalle [0;10], dans un repère orthogonal de l'espace.

Surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer par lecture graphique le montant des investissements et la valeur de la production qui permettent d'obtenir un bénéfice maximal quand x appartient à l'intervalle [0;5] et y appartient à l'intervalle [0;10]. Calculer la valeur correspondante de ce bénéfice.

    Graphiquement le bénéfice est maximal pour un point de la surface S dont la cote est maximale.

    1. Sur la figure ci-dessus, on a placé le point A appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse xA=1 et pour ordonnée yA=8. Calculer la troisième coordonnée zA du point A.

      Les coordonnées du point A vérifient l'équation de la surface.

    2. Sur la figure ci-dessus, on a placé le point E appartenant à la surface (S), ayant pour abscisse xE=2 et pour troisième coordonnée zE=zA. Calculer la valeur exacte yE de l'ordonnée du point E.

  2. Quelle est la nature de l'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation x=1 ? Justifier.
    Tracer cette intersection dans un plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm, y appartenant à l'intervalle [0;10].
    Déterminer, à l'euro près, le montant en euros du bénéfice maximal réalisé par l'entreprise quand le montant des investissements est fixé à 1 million d'euros.

    Déterminer une équation de la courbe de niveau x=1.

  3. Déterminer une équation de la courbe d'intersection de la surface (S) avec le plan d'équation y=10.
    Expliquer alors comment retrouver le résultat de la question 1.

    Si le montant des investissements est fixé pour une valeur k de l'intervalle [0;5], montrer que le bénéfice est maximal pour y=10. On se ramène alors à l'étude d'une fonction d'une variable g:x10x2e-x sur l'intervalle [0;5].


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