La courbe (C) donnée ci-contre est la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle .
On sait que le point A de coordonnées appartient à la courbe (C) et que la fonction f admet un minimum pour .
En outre, les droites d'équations respectives et sont asymptotes à la courbe (C).
Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse dans le tableau.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1) La limite de la fonction f en +∞ est : |
|
2) On note la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle | |
3) L'équation de la tangente à la courbe (C) au point A est : | |
4) Sur l'intervalle , l'équation f(x) = x |
|
Dans les deux questions suivantes, on considère la fonction g définie sur l'intervalle par , où ln désigne la fonction logarithme népérien.
5) Si , alors |
|
6) On peut affirmer que sur l'intervalle |
|
En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d'un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :
Âge de l'adhérent en années | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 |
Rang | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Montant du rachat d'un trimestre de cotisation en euros | 2229 | 2285 | 2340 | 2394 | 2449 |
Calculer l'augmentation en pourcentage du montant du rachat d'un trimestre entre un salarié de 54 ans et un salarié de 58 ans. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique dans un repère orthogonal :
Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.
Le nuage de points permet de penser qu'un ajustement affine est justifié.
Donner une équation de la droite de régression (D) de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.
Représenter la droite (D) dans le repère précédent.
Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans ?
En fait le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de 2 555 euros et le montant du rachat d'un trimestre après 60 ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60 ans, le montant du rachat baisse de 3% par an.
Calculer le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié ayant 65 ans.
Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.
Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :
Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005 + n.
Ainsi .
Calculer et .
Justifier que, pour tout entier naturel n, .
Pour tout entier naturel n, on pose .
Calculer .
Montrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer en fonction de n. En déduire que .
Calculer la limite de la suite
Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la PARTIE A.
Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?
Soit f la fonction définie sur l'intervalle par : .
On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation .
La courbe (C) est partiellement représentée ci-dessous.
Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .
On pose
Montrer que .
Donner une valeur approchée à 10-1 près de α .
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle et on note la fonction dérivée de f sur cet intervalle.
Calculer , pour tout x élément de l'intervalle .
Étudier le signe de sur l'intervalle , et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.
Justifier que et que, pour tout x de l'intervalle , .
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.
Sur le graphique donné :
Placer le point de la courbe (C) d'abscisse α ;
Tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α ;
Tracer la droite (D).
On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives et .
Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.
Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites "hors calibre", sont rejetées.
Il a été constaté que :
Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.
Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :
un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de "bon calibre" ou "hors calibre".
Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.
On appellera :
Tous les résultats de cet exercice seront donnés à 10-4 près.
Déterminer les probabilités des événements et .
Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :
Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,1440.
Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.
La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme « Cette pomme provient très probablement du premier producteur ».
Quel calcul permet de justifier cette affirmation ? Faire ce calcul et conclure.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.