On considère la fonction f définie sur l'intervalle par : La courbe ci-contre est représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan d'origine O.
La partie hachurée ci-contre est limitée par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Calculer, en unités d'aire, l'aire S de la partie coloriée.
L'aire S de la partie coloriée, exprimée en unités d'aire est :
On considère un point M appartenant à la courbe d'abscisse x avec .
La parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe l'axe des abscisses en un point H.
La parallèle à l'axe des abscisses passant par M coupe l'axe des ordonnées en un point K.
On appelle l'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK.
Prouver que, pour tout x appartenant à l'intervalle , .
L'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK est égale à OH × OK
On se propose de rechercher toutes les valeurs possibles de x de l'intervalle telles que l'aire du rectangle OHMK soit égale à l'aire coloriée S.
Montrer que le problème précédent revient à résoudre l'équation où g est la fonction définie sur l'intervalle par : .
L'aire du rectangle OHMK est égale à l'aire coloriée S pour tout x appartenant à l'intervalle tel que .
Étudier les variations de g sur l'intervalle et dresser le tableau de variation de g.
En déduire que l'équation admet sur l'intervalle une solution unique α. Donner une valeur approchée de α au centième.
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation admet une solution unique.
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