sujet : Nouvelle Calédonie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par : $f\left(x\right)=\ln \left(2x-4\right)$.
On appelle $\left({𝒞}_f\right)$ la courbe tracée ci-dessous, représentative de f dans un repère orthonormal.

1. f est la composée d'une fonction affine définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ suivie de la fonction ln.

   1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ ?

      Théorème : Limite d'une fonction composée.

      α , m et $𝓁$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : $f=u\circ v$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=𝓁$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=𝓁$.

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   2. Étudier le sens de variation de f sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ et dresser son tableau de variation.

      Théorème : Sens de variation de ln u.

      Soit u une fonction strictement positive sur un intervalle I.
      u et ln u ont les mêmes variations sur I.

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   3. La courbe $\left({𝒞}_f\right)$ coupe l'axe des abscisses au point A. Quelles sont les coordonnées exactes de A ?

      A est un point de la courbe $\left({𝒞}_f\right)$. Ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.

   4. Déterminer une équation de la droite (T) tangente en A à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$.

      Une équation de la tangente à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ en son point A d'abscisse x ₀ est donnée par la relation : $$y=f\prime \left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$$

      Théorème : Dérivée de ln u

      Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
      La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

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2. Sur la figure ci-dessus, on a tracé la courbe $\left({𝒞}_f\right)$, le point A, la droite (T) et la droite (D) d'équation $y=x$.
   Par la symétrie axiale d'axe (D), la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ se transforme en une courbe $\left({𝒞}_g\right)$ représentative d'une fonction g définie dans $ℝ$.
   On admet que, pour tout x réel, $g\left(x\right)$ s'écrit sous la forme $g\left(x\right)=a+b{\mathrm{e}}^x$ où a et b sont deux nombres réels.
   La courbe $\left({𝒞}_g\right)$ ainsi construite passe par le point A ' image de A par la symétrie d'axe (D).
   De plus, la courbe $\left({𝒞}_g\right)$ admet au point A ' une tangente (T ') qui est l'image de la droite (T) par la symétrie d'axe (D).

   La symétrie d'axe (D) n'est pas au programme de terminale ES. Cependant lors de l'étude de la fonction exponentielle comme bijection réciproque de la fonction ln, on peut considérer que le théorème suivant a été admis:

   Dans un repère normé, le symétrique d'un point $M\left(\mathit{x}\mathit{y}\right)$ par rapport à la première bissectrice (D) d'équation $y=x$ est le point $M\prime \left(\mathit{y}\mathit{x}\right)$

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   1. Donner, sans justification, le coefficient directeur de la droite (T ').

      Par lecture graphique donner le coefficient directeur de la droite (T ').

   2. Calculer a et b en justifiant soigneusement les calculs.

   3. Calculer l'ordonnée exacte du point E appartenant à $\left({𝒞}_g\right)$ et ayant pour abscisse 2.

   4. Quelles sont les coordonnées du point E ' image de E par la symétrie d'axe (D)?

      L'image du point $M\left(x;y\right)$ par la symétrie d'axe (D) est le point $M\prime \left(yx\right)$.

3. 1. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}$ .

   2. En déduire l'aire $𝒜$, en unités d'aire, du domaine hachuré défini par la courbe $\left({𝒞}_g\right)$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E. On demande la valeur exacte du résultat.

   3. Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs, la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{5}{2}}}^{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

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