sujet : liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal, d'une fonction f définie et dérivable sur $\left]-1;+\infty \right[$. On sait que la fonction f est croissante sur $\left]-1;1\right]$ et sur $\left[3;+\infty \right[$ et que la droite D est asymptote à C en $+\infty$.

I. Étude graphique de la fonction f

Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point; une mauvaise réponse retire 0,25 point; l'absence de réponse donne 0 point.

1. Une asymptote à C est la droite d'équation :

   Graphiquement $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors la droite d'équation $x=-1$ est asymptote à la courbe C.

   $y=-1$

   $x=1$

   $x=-1$

2. La droite D a pour équation :

   • La droite D passe par les points de coordonnées $\left(4;0\right)$ et $\left(5;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ alors la droite D a pour coefficient directeur ${\displaystyle \frac{5}{2}}$.
   • L'équation réduite de la droite D est donc $y={\displaystyle \frac{5}{2}}x+b$ avec b solution de l'équation $0={\displaystyle \frac{5}{2}}\times 4+b\iff b=-10$

   $y={\displaystyle \frac{5}{2}}x-10$

   $y={\displaystyle \frac{5}{2}}x-9$

   $y=3x-10$

3. Le nombre dérivé de f en 0 est :

   Le nombre dérivé de f en 0 est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point de coordonnées $\left(0;1\right)$.

   Or cette droite passe également par le point de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ alors la tangente a pour coefficient directeur 3.

   1

   3

   $-3$

4. Le nombre de solutions de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ sur $\left]-1;+\infty \right[$ est :

   La courbe C coupe l'axe des abscisses en trois points.

   2

   1

   3

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II. Étude d'une fonction g

On note g la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\exp \left(f\left(x\right)\right)$.

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ puis $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)$

   g est la fonction composée f suivie de la fonction exp

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=+\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$.

   ---

   $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ alors, $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=0$.

   ---

2. Étudier les variations de g sur $\left]-1;+\infty \right[$ et en dresser le tableau de variation.

   g est la fonction composée f suivie de la fonction exp, or les fonctions f et ${\mathrm{e}}^f$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où la fonction f est définie. Par conséquent, sur $\left]-1;+\infty \right[$ la fonction g a les mêmes variations que la fonction f$$. (Voir le théorème) Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur I.

   D'où le tableau des variations de g

   x	–	1		1		3		$+\infty$
   Variations de g		0		${\mathrm{e}}^2$		${\mathrm{e}}^{-1}$		$+\infty$

   ---

3. Déterminer $g\prime \left(1\right)$ et $g\prime \left(0\right)$.

   Pour calculer la dérivée de la fonction g utilisons le théorème de la dérivation des fonctions composées appliqué à la dérivée de ${\mathrm{e}}^u$ Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $f:x\to {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\times u\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}\times f\prime \left(x\right)$. D'où :

   • $g\prime \left(1\right)={\mathrm{e}}^{f\left(1\right)}\times f\prime \left(1\right)$. Or au point d'abscisse 1 la courbe C admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(1\right)=0$.

     Ainsi $g\prime \left(1\right)=0$

     ---

   • $g\prime \left(0\right)={\mathrm{e}}^{f\left(0\right)}\times f\prime \left(0\right)={\mathrm{e}}^1\times 3$

     Ainsi $g\prime \left(0\right)=3\mathrm{e}$

     ---

4. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions sur $\left]-1;+\infty \right[$ de l'inéquation $g\left(x\right)⩽{\mathrm{e}}^2$.

   Sur $\left]-1;+\infty \right[$ $$\begin{array}{llll}g\left(x\right)⩽{\mathrm{e}}^2& \iff & {\mathrm{e}}^{f\left(x\right)}⩽{\mathrm{e}}^2& \\ & \iff & f\left(x\right)⩽2& \text{La fonction exponentielle est strictement croissante}\end{array}$$

   Or la courbe C est "au dessous" de la droite d'équation $y=2$ pour tout réel x de l'intervalle $]-1;\alpha ]$ avec $\alpha \approx \mathrm{4,7}$.

   Avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation $g\left(x\right)⩽{\mathrm{e}}^2$ est l'intervalle $]-1;\mathrm{4,7}]$.

   ---

Pour information

Les courbes respectives des fonctions f et g sont représentées ci-dessous.

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