sujet : liban

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[4;20\right]$ par $f\left(x\right)=\left(x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$.

La courbe (C) ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.

Partie A :

1. Montrer que, pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,25}x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$.

2. En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$.

3. 1. Montrer que la fonction F définie par $F\left(x\right)=-4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$ est une primitive de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$.

      Dire que F est une primitive de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$ signifie que pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]\text{, }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   2. Calculer l'intégrale ${\displaystyle {\int }_4^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

Partie B :

Une entreprise commercialise des centrales d'aspiration. Le prix de revient d'une centrale est de 400 €.
On suppose que le nombre d'acheteurs d'une centrale est donné par $\mathrm{N}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$, où x est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros.

1. Montrer que la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en centaines d'euros.

   x est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros alors, exprimé en centaines d'euros le bénéfice réalisé lors de la vente d'une centrale est $x-4$.

2. A quel prix l'entreprise doit-elle vendre une centrale pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? Donner un interprétation graphique de ces résultats.

3. Calculer le bénéfice moyen réalisé pour $x\in \left[4;20\right]$. On donnera le résultat à l'euro près.

   définition

   Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

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