sujet : liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. 1. Calculer le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile en 1999 et en 2004.

      En 1999 le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile est de $\mathrm{60,32}\times \mathrm{0,342}=\mathrm{20,62944}$.

      Arrondi à 10^-2 près 20,63 millions de personnes étaient équipées d'un téléphone mobile en 1999.

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      En 2004 le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile est de $\mathrm{62,18}\times \mathrm{0,716}=\mathrm{44,52088}$.

      Arrondi à 10^-2 près 44,52 millions de personnes étaient équipées d'un téléphone mobile en 2004.

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   2. Entre ces deux années quel est le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration ?

      Entre ces deux années, le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'augmentation du taux de pénétration est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{71,6}}{\mathrm{34,2}}}\approx \mathrm{2,09357}$$

      Entre ces deux années, le taux de pénétration a augmenté de 109,36% (arrondi à 10^-2 près).

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2. Placer dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ : les unités graphiques sont de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 10 % sur l'axe des ordonnées.

3. L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme $y=a\ln \left(x\right)+b$ : où a et b sont des réels. On pose pour cela $z=\ln \left(x\right)$.

   1. Recopier et compléter le tableau

      $x_i$	1	2	3	4	5	6	7
      $z_i$	0	$\ln 2\approx \mathrm{0,69}$	$\ln 3\approx \mathrm{1,1}$	$\ln 4\approx \mathrm{1,39}$	$\ln 5\approx \mathrm{1,61}$	$\ln 6\approx \mathrm{1,79}$	$\ln 7\approx \mathrm{1,95}$
      Taux de pénétration $y_i$	18,7	34,2	48,9	60,6	62,8	67,5	71,6

   2. En déterminant avec la calculatrice une équation de la droite de régression de y en z, obtenue par la méthode des moindres carrés, donner la valeur approchée décimale à 10^-2près par défaut des coefficients a et b.

      Selon les valeurs saisies à la calculatrice les résultats peuvent légèrement différer.

      • Les valeurs de $z_i$ n'ont pas été arrondies avant le calcul des coefficients de la droite de régression, alors $y=\mathrm{28,11}\ln \left(x\right)+\mathrm{17,8}$ (1)

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      • Les valeurs de $z_i$ ont été arrondies avant le calcul des coefficients de la droite de régression, alors $y=\mathrm{28,07}\ln \left(x\right)+\mathrm{17,82}$ (2)

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4. En admettant que cet ajustement reste fiable à moyen terme :

   1. Déterminer le taux de pénétration en 2006 que l'on peut alors envisager.

      Le rang de l'année 2006 est égal à 9 :

      • Avec l'ajustement (1) : $y=\mathrm{28,11}\ln \left(9\right)+\mathrm{17,8}\approx \mathrm{79,564}$

        En 2006 on peut envisager un taux de pénétration de 79,56%.

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      • Avec l'ajustement (2) : $y=\mathrm{28,07}\ln \left(9\right)+\mathrm{17,82}\approx \mathrm{79,496}$

        En 2006 on peut envisager un taux de pénétration de 79,5%.

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   2. À partir de quelle année peut-on penser que le taux de pénétration dépassera 85 % ?

      Soit n le rang de l'année à partir duquel le taux de pénétration dépassera 85% alors, n est le plus petit entier non nul solution de l'inéquation $\mathrm{28,11}\ln \left(n\right)+\mathrm{17,8}⩾85$

      $$\begin{array}{llll}\mathrm{28,11}\ln \left(n\right)+\mathrm{17,8}⩾85& \iff & \mathrm{28,11}\ln \left(n\right)⩾\mathrm{67,2}& \\ & \iff & \ln \left(n\right)⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{67,2}}{\mathrm{28,11}}}& \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{\ln \left(n\right)}⩾{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{\mathrm{67,2}}{\mathrm{28,11}}}}& \text{La fonction exponentielle est croissante}\\ & \iff & n⩾{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{\mathrm{67,2}}{\mathrm{28,11}}}}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif : }{\mathrm{e}}^{\ln a}=a\end{array}$$

      Or ${\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{\mathrm{67,2}}{\mathrm{28,11}}}}\approx \mathrm{10,92}$. Par conséquent, le rang n de l'année à partir duquel le taux de pénétration dépassera 85% est 11.

      Le taux de pénétration dépassera 85 % à partir de 2008.

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