Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La question 6 peut être traitée indépendamment des 5 autres.

Tous les résultats seront arrondis à 10^-3 près.

Un pépiniériste conditionne un mélange de 400 bulbes de fleurs composé de trois variétés :

100 bulbes d'Anémones
180 bulbes de Bégonias
120 bulbes de Crocus.

On conviendra qu'un bulbe germe s'il donne naissance à une plante qui fleurit.
Après avoir planté tous les bulbes et observé leur floraison, on constate que :
83% des bulbes germent.
50% des bulbes d'Anémones germent.
90% des bulbes de Bégonias germent.

On note les événements suivants :
A : « le bulbe planté est un bulbe d'Anémone. »
B : « le bulbe planté est un bulbe de Bégonias. »
C : « le bulbe planté est un bulbe de Crocus. »
G : « le bulbe planté germe. »

Remarques :

On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
On rappelle la formule des probabilités totales :

Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'univers, alors la probabilité d'un événement quelconque E est donnée par : $p (E) = p (A_{1} \cap E) + p (A_{2} \cap E) + \dots + p (A_{n} \cap E)$

Donner les probabilités conditionnelles $P_{A} (G)$ , $P_{B} (G)$ et la probabilité $P (G)$ .

D'après les données de l'énoncé :
- 50% des bulbes d'Anémones germent, alors $P_{A} (G) = 0,5$
- 90% des bulbes de Bégonias germent, alors $P_{B} (G) = 0,9$
- 83% des bulbes germent, alors $P (G) = 0,83$
Quelle est la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe ?

$P (A \cap G) = P_{A} (G) \times P (A)$

Or le mélange de 400 bulbes contient 100 bulbes d'Anémones d'où $P (A) = \frac{100}{400} = 0,25$

Donc $P (A \cap G) = 0,5 \times 0,25 = 0,125$

La probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe est égale à 0,125.
Quelle est la probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de Bégonias ?

$P (G \cup B) = P (G) + P (B) - P (G \cap B)$

Or le mélange de 400 bulbes contient 180 bulbes de Bégonias d'où $P (B) = \frac{180}{400} = 0,45$

et $P (G \cap B) = P_{B} (G) \times P (B) = 0,9 \times 0,45 = 0,405$

d'où $P (G \cup B) = 0,83 + 0,45 - 0,405 = 0,875$ .

La probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de Bégonias est égale à 0,875.
1. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{C} (G)$
  
  $P_{C} (G) = \frac{P (G \cap C)}{P (C)}$
  
  Le mélange des 400 bulbes de fleurs est composé de trois variétés alors, d'après la formule des probabilités totales : $p (G) = p (A \cap G) + p (B \cap G) + p (C \cap G)$
  
  Soit $p (C \cap G) = p (G) - p (A \cap G) - p (B \cap G) = 0,83 - 0,125 - 0,405 = 0,3$
  
  D'autre part, le mélange de 400 bulbes contient 120 bulbes de Crocus d'où $P (C) = \frac{120}{400} = 0,3$
  
  Ainsi $P_{C} (G) = \frac{0,3}{0,3} = 1$
2. Que peut-on en déduire ?
  
  Tous les bulbes de Crocus ont germé.
On considère un bulbe ayant germé. Quelle est la probabilité que ce soit un bulbe de Crocus ?

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle $P_{G} (C)$

$P_{G} (C) = \frac{P (G \cap C)}{P (G)} = \frac{0,3}{0,83}$

Arrondie à 10^-3 près, la probabilité que ce soit un bulbe de Crocus sachant que le bulbe a germé est égale à 0,361.
On considère à présent que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu'un bulbe germe est de 0,83. II prélève au hasard successivement trois bulbes de ce stock. Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe ?

Prélever trois bulbes choisis au hasard et indépendamment les uns des autres, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de bulbes qui germent est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,83.

L'évènement "au moins un des trois bulbes choisis germe " est l'évènement contraire de l'évènement "les trois bulbes ne germent pas ".

Or la probabilité d'obtenir trois échecs consécutifs est : ${(0,17)}^{3}$ .

D'où la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe est égale à $1 - {(0,17)}^{3} \approx 0,995$

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.