sujet : liban

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[4;20\right]$ par $f\left(x\right)=\left(x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$. La courbe (C) ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.

Partie A :

1. Montrer que, pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,25}x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$.

   Pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]$,$f\left(x\right)=\left(x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$ alors, f est le produit de deux fonctions U et V telles que :
   $U\left(x\right)=\left(x-4\right)$ et $V\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$ d'où$f\prime =U\prime V+UV\prime$.

   Or $U\prime \left(x\right)=1$

   et $V={\mathrm{e}}^u$ d'où $V\prime =u\prime {\mathrm{e}}^u$ avec $u\left(x\right)=-\mathrm{0,25}x+5$ et $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,25}$ donc $V\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$

   Soit $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}+\left(x-4\right)\left(-\mathrm{0,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\right)& \iff & f\prime \left(x\right)=\left(1-\mathrm{0,25}\left(x-4\right)\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\\ & \iff & f\prime \left(x\right)=\left(1-\mathrm{0,25}x+1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,25}x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$.

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2. En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Or pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]$, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}>0$ et $$\begin{array}{lll}-\mathrm{0,25}x+2>0& \iff & -\mathrm{0,25}x>-2\\ & \iff & x<8\end{array}$$

   D'autre part, $f\left(0\right)=0\text{, }f\left(8\right)=4{\mathrm{e}}^3\text{ et }f\left(20\right)=16$

   D'où le tableau de variation de f

   x	4		8		20
   Signe de $f\prime$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f	0		$4{\mathrm{e}}^3$		16

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3. 1. Montrer que la fonction F définie par $F\left(x\right)=-4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$ est une primitive de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$.

      Dire que F est une primitive de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$ signifie que pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]\text{, }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      Or :$$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)=-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}-4x\left(-\mathrm{0,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\right)& \iff & F\prime \left(x\right)=-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}+x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\\ & \iff & F\prime \left(x\right)=\left(x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\end{array}$$

      Ainsi pour tout x de l'intervalle $\left[4;20\right]\text{, }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ alors la fonction F définie par $F\left(x\right)=-4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$ est une primitive de f sur l'intervalle $\left[4;20\right]$.

      ---

   2. Calculer l'intégrale ${\displaystyle {\int }_4^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_4^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-4x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}\right]}_4^{20}}\\ & =& \left(-80{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}\times 80+5}\right)-\left(-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}\times 4+5}\right)\\ & =& 16{\mathrm{e}}^4-80\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_4^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=16{\mathrm{e}}^4-80$

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Partie B :

Une entreprise commercialise des centrales d'aspiration. Le prix de revient d'une centrale est de 400 €.
On suppose que le nombre d'acheteurs d'une centrale est donné par $\mathrm{N}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$, où x est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros.

1. Montrer que la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en centaines d'euros.

   x est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros alors, exprimé en centaines d'euros le bénéfice réalisé lors de la vente d'une centrale est $x-4$.

   Le bénéfice B exprimé en centaines d'euros réalisé par l'entreprise en fonction du nombre d'acheteurs est :

   $\mathrm{B}=\mathrm{N}\left(x-4\right)$ soit $\mathrm{B}=\left(x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x+5}$.

   Ainsi la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en centaines d'euros.

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2. A quel prix l'entreprise doit-elle vendre une centrale pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? Donner un interprétation graphique de ces résultats.

   D'après l'étude des variations de la fonction f faite dans la partie A le maximum de la fonction f est atteint pour $x=8$ et $f\left(8\right)=4{\mathrm{e}}^3\approx \mathrm{80,3421}$.

   Pour réaliser un bénéfice maximal de 8034€, l'entreprise doit vendre une centrale au prix de 800€.

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3. Calculer le bénéfice moyen réalisé pour $x\in \left[4;20\right]$. On donnera le résultat à l'euro près.

   Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction f sur $\left[4;20\right]$ d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle : Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   Soit $\mu ={\displaystyle \frac{1}{16}}{\displaystyle {\int }_4^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{16{\mathrm{e}}^4-80}{16}}={\mathrm{e}}^4-5\approx \mathrm{49,5982}$.

   En supposant que cette entreprise vende les centrales à des prix variants de 400 € à 2 000 €, le bénéfice moyen que cette entreprise réalise est de 4 960 €.

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