sujet : liban

énoncé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Sauf indication contraire, on arrondira les résultats à 10^-2près.

Le taux de pénétration du téléphone mobile dans la population française indique le pourcentage de personnes équipées d'un téléphone mobile par rapport à la population totale.

Le tableau ci-dessous donne, entre 1998 et 2004, l'évolution de la population française et du taux de pénétration.

(Source: site de l'INSEE)

Année	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de $x_i$ l'année	1	2	3	4	5	6	7
Population française en millions	60,05	60,32	60,67	61,04	61,43	61,80	62,18
Taux de pénétration $y_i$	18,7	34,2	48,9	60,6	62,8	67,5	71,6

1. 1. Calculer le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile en 1999 et en 2004.

   2. Entre ces deux années quel est le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration ?

2. Placer dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ : les unités graphiques sont de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 10 % sur l'axe des ordonnées.

3. L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme $y=a\ln \left(x\right)+b$ : où a et b sont des réels. On pose pour cela $z=\ln \left(x\right)$.

   1. Recopier et compléter le tableau

      $x_i$	1	2	3	4	5	6	7
      $z_i$	0
      Taux de pénétration $y_i$	18,7	34,2	48,9	60,6	62,8	67,5	71,6

   2. En déterminant avec la calculatrice une équation de la droite de régression de y en z, obtenue par la méthode des moindres carrés, donner la valeur approchée décimale à 10^-2près par défaut des coefficients a et b.

4. En admettant que cet ajustement reste fiable à moyen terme :

   1. Déterminer le taux de pénétration en 2006 que l'on peut alors envisager.

   2. À partir de quelle année peut-on penser que le taux de pénétration dépassera 85 % ?

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