Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :
x | − 1 | ||||
3 | 0 |
La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points et . Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.
Déterminer graphiquement et .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la droite (D) tangente à la courbe au point .
Or la droite (D) passe également par le point de coordonnées . D'où
Donc .
La tangente à la courbe au point d'abscisse − 1 est la droite (D′) parallèle à l'axe des abscisses alors :
.
Soit g la fonction définie sur par . On admet que g est dérivable sur .
Justifier que f et g ont les mêmes variations.
La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction exponentielle.
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur , par composée :
la fonction f étant strictement croissante sur , alors la fonction est strictement croissante sur .
la fonction f étant strictement décroissante sur , alors la fonction est strictement décroissante sur .
Donc les fonctions f et g ont les mêmes variations sur .
Le théorème sur le sens de variation de , Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ont les mêmes variations sur I. permet également de conclure que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur .
Déterminer et (on justifiera les résultats).
D'après le tableau des variations de la fonction f :
or, donc
or, donc
Ainsi, et .
Calculer .
Ainsi, .
Soit h la fonction définie sur l'intervalle par . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle .
Déterminer (on justifiera le résultat).
et donc
Ainsi, .
Calculer .
La fonction f est strictement positive sur . D'après le théorème qui permet d'obtenir la dérivée de : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction est dérivable sur I et sa dérivée est .
Ainsi, .
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