Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :

x -   − 1   +

f(x)

-

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

3

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0


La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A(-3;1) et B(-1;3). Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer graphiquement f(-3) et f(-1).

    • Le nombre dérivé f(-3) est égal au coefficient directeur de la droite (D) tangente à la courbe (𝒞) au point A(-3;1).

      Or la droite (D) passe également par le point de coordonnées (-2;3). D'où f(-3)=3-1(-2)-(-3)=2

      Donc f(-3)=2.


    • La tangente à la courbe (𝒞) au point d'abscisse − 1 est la droite (D′) parallèle à l'axe des abscisses alors :

      f(-1)=0.


  2. Soit g la fonction définie sur par g(x)=ef(x) . On admet que g est dérivable sur .

    1. Justifier que f et g ont les mêmes variations.

      La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction exponentielle.

      Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur , par composée :

      • la fonction f étant strictement croissante sur ]-;-1], alors la fonction ef est strictement croissante sur ]-;-1].

      • la fonction f étant strictement décroissante sur [-1;+[, alors la fonction ef est strictement décroissante sur [-1;+[.

      Donc les fonctions f et g ont les mêmes variations sur .


      remarque :

      Le théorème sur le sens de variation de eu, Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur I. permet également de conclure que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur .

    2. Déterminer limx-g(x) et limx+g(x) (on justifiera les résultats).

      D'après le tableau des variations de la fonction f :

      • limx-f(x)=- or, limX-eX=0 donc limx-ef(x)=0

      • limx+f(x)=0 or, limX0eX=1 donc limx+ef(x)=1

      Ainsi, limx-g(x)=0 et limx+g(x)=1.


    3. Calculer g(-3).

      D'après le théorème qui permet d'obtenir la dérivée de eu : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f(x)=eu(x)×u(x). g(-3)=f(-3)×ef(-3)=2×e1

      Ainsi, g(-3)=2e.


  3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle ]-3,1;+[ par h(x)=ln[f(x)] . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle ]-3,1;+[.

    1. Déterminer limx+h(x) (on justifiera le résultat).

      limx+f(x)=0 et limX0lnX=- donc limx+ln[f(x)]=-

      Ainsi, limx+h(x)=-.


    2. Calculer h(-3).

      La fonction f est strictement positive sur ]-3,1;+[. D'après le théorème qui permet d'obtenir la dérivée de lnu : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est dérivable sur I et sa dérivée est (lnu)=uu. h(-3)=f(-3)f(-3)=21

      Ainsi, h(-3)=2.



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