Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :

x -   − 1   +

fx

-

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

3

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0


La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A-31 et B-13. Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer graphiquement f-3 et f-1.

    • Le nombre dérivé f-3 est égal au coefficient directeur de la droite (D) tangente à la courbe 𝒞 au point A-31.

      Or la droite (D) passe également par le point de coordonnées -23. D'où f-3=3-1-2--3=2

      Donc f-3=2.


    • La tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse − 1 est la droite (D′) parallèle à l'axe des abscisses alors :

      f-1=0.


  2. Soit g la fonction définie sur par gx=efx . On admet que g est dérivable sur .

    1. Justifier que f et g ont les mêmes variations.

      La fonction g est la composée de la fonction f suivie de la fonction exponentielle.

      Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur , par composée :

      • la fonction f étant strictement croissante sur --1, alors la fonction ef est strictement croissante sur --1.

      • la fonction f étant strictement décroissante sur -1+, alors la fonction ef est strictement décroissante sur -1+.

      Donc les fonctions f et g ont les mêmes variations sur .


      remarque :

      Le théorème sur le sens de variation de eu, Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur I. permet également de conclure que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur .

    2. Déterminer limx-gx et limx+gx (on justifiera les résultats).

      D'après le tableau des variations de la fonction f :

      • limx-fx=- or, limX-eX=0 donc limx-efx=0

      • limx+fx=0 or, limX0eX=1 donc limx+efx=1

      Ainsi, limx-gx=0 et limx+gx=1.


    3. Calculer g-3.

      D'après le théorème qui permet d'obtenir la dérivée de eu : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeux est dérivable sur I et pour tout réel x de I, fx=eux×ux. g-3=f-3×ef-3=2×e1

      Ainsi, g-3=2e.


  3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle -3,1+ par hx=lnfx . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle -3,1+.

    1. Déterminer limx+hx (on justifiera le résultat).

      limx+fx=0 et limX0lnX=- donc limx+lnfx=-

      Ainsi, limx+hx=-.


    2. Calculer h-3.

      La fonction f est strictement positive sur -3,1+. D'après le théorème qui permet d'obtenir la dérivée de lnu : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction lnu est dérivable sur I et sa dérivée est lnu=uu. h-3=f-3f-3=21

      Ainsi, h-3=2.



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