sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ et le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$, à l'exclusion de tout autre défaut.

1. On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$, 37 % ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$, et 10 % ont les deux défauts.
   On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

   Notons $D_A$ l'évènement « la pièce a au moins le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ », et $D_B$ l'évènement « la pièce a au moins le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$ ».

   Parmi les pièces produites par la machine :

   • 28 % ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ alors, $p\left(D_A\right)=\mathrm{0,28}$.
   • 37 % ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$ alors, $p\left(D_B\right)=\mathrm{0,37}$.
   • 10 % ont les deux défauts alors, $p\left(D_A\cap D_B\right)=\mathrm{0,1}$.

   Une pièce est défectueuse si elle a le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ ou le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$.

   $$\begin{array}{lll}p\left(D_A\cup D_B\right)& =& p\left(D_A\right)+p\left(D_B\right)-p\left(D_A\cap D_B\right)\\ & =& \mathrm{0,28}+\mathrm{0,37}-\mathrm{0,1}\\ & =& \mathrm{0,55}\end{array}$$

   La probabilité de tomber sur une pièce défectueuse est égale à 0,55.

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2. Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.

   On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$, et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$. On a constaté que 40 % des pièces qui ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ sont réparables, et que 30 % des pièces qui ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$ sont réparables.

   On choisit une pièce au hasard. On note :

   • A l'évènement : « La pièce a le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ » ;
   • B l'évènement : « La pièce a le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$ » ;
   • R l'évènement : « La pièce est réparable ».

   1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

      On admet que :

      • 40 % de ces pièces ont seulement le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ alors, $p\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{0,4}$.
      • 60 % de ces pièces ont seulement le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$ alors, $p\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,6}$.
      • 40 % des pièces qui ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ sont réparables alors, $p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{R}\right)=\mathrm{0,4}$.
      • 30 % des pièces qui ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{B}}$ sont réparables alors, $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{R}\right)=\mathrm{0,3}$.

      D'où l'arbre pondéré décrivant la situation :

   2. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ et est réparable ».

      $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{R}\right)& =& p_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{R}\right)\times p\left(\mathrm{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,16}\end{array}$$

      La probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ et est réparable » est égale à 0,16.

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   3. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable ».

      A et B forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(\mathrm{R}\right)=p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{R}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{R}\right)$$

      Or $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{R}\right)& =& p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{R}\right)\times p\left(\mathrm{B}\right)\\ & =& \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,6}\\ & =& \mathrm{0,18}\end{array}$$

      Donc $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{R}\right)& =& p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{R}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{R}\right)\\ & =& \mathrm{0,16}+\mathrm{0,18}\\ & =& \mathrm{0,34}\end{array}$$

      La probabilité que la pièce choisie soit réparable est égale à 0,34.

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   4. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ (le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).

      $\begin{array}{lllllll}{p}_{\mathrm{R}}\left(\mathrm{A}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{R}\right)}{p\left(\mathrm{R}\right)}}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,16}}{\mathrm{0,34}}}& =& {\displaystyle \frac{8}{17}}\end{array}$

      Sachant que la pièce choisie est réparable, la probabilité qu'elle ait le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ est égale à ${\displaystyle \frac{8}{17}}$.

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   5. À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
      Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$.

      On choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut, il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli. Les trois tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante donc la loi de probabilité associée au nombre de pièces qui ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ est une loi binomiale de paramètres 0,4 et 3.

      L'évènement C « 2 pièces exactement ont le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ » est formé des listes $\left\{\mathrm{A},\mathrm{A},\mathrm{B}\right\};\left\{\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{A}\right\};\left\{\mathrm{B},\mathrm{A},\mathrm{A}\right\}$.

      Chaque liste a pour probabilité ${\mathrm{0,4}}^2\times \mathrm{0,6}$, donc : $$p\left(\mathrm{C}\right)=3\times {\mathrm{0,4}}^2\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,288}$$

      La probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut ${\mathrm{D}}_{\mathrm{A}}$ est égale à 0,288.

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