Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut DA et le défaut DB, à l'exclusion de tout autre défaut.

  1. On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut DA, 37 % ont le défaut DB, et 10 % ont les deux défauts.
    On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

    Notons DA l'évènement « la pièce a au moins le défaut DA », et DB l'évènement « la pièce a au moins le défaut DB ».

    Parmi les pièces produites par la machine :

    • 28 % ont le défaut DA alors, pDA=0,28.
    • 37 % ont le défaut DB alors, pDB=0,37.
    • 10 % ont les deux défauts alors, pDADB=0,1.

    Une pièce est défectueuse si elle a le défaut DA ou le défaut DB.

    pDADB=pDA+pDB-pDADB=0,28+0,37-0,1=0,55

    La probabilité de tomber sur une pièce défectueuse est égale à 0,55.


  2. Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.

    On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut DA, et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut DB. On a constaté que 40 % des pièces qui ont le défaut DA sont réparables, et que 30 % des pièces qui ont le défaut DB sont réparables.

    On choisit une pièce au hasard. On note :

    • A l'évènement : « La pièce a le défaut DA » ;
    • B l'évènement : « La pièce a le défaut DB » ;
    • R l'évènement : « La pièce est réparable ».
    1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

      On admet que :

      • 40 % de ces pièces ont seulement le défaut DA alors, pA=0,4.
      • 60 % de ces pièces ont seulement le défaut DB alors, pB=0,6.
      • 40 % des pièces qui ont le défaut DA sont réparables alors, pAR=0,4.
      • 30 % des pièces qui ont le défaut DB sont réparables alors, pBR=0,3.

      D'où l'arbre pondéré décrivant la situation :

      Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut DA et est réparable ».

      pAR=pAR×pA=0,4×0,4=0,16

      La probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut DA et est réparable » est égale à 0,16.


    3. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable ».

      A et B forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
      pR=pAR+pBR

      Or pBR=pBR×pB=0,3×0,6=0,18

      Donc pR=pAR+pBR=0,16+0,18=0,34

      La probabilité que la pièce choisie soit réparable est égale à 0,34.


    4. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut DA (le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).

      pRA=pARpR=0,160,34=817

      Sachant que la pièce choisie est réparable, la probabilité qu'elle ait le défaut DA est égale à 817.


    5. À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
      Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut DA.

      On choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut, il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli. Les trois tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante donc la loi de probabilité associée au nombre de pièces qui ont le défaut DA est une loi binomiale de paramètres 0,4 et 3.

      L'évènement C « 2 pièces exactement ont le défaut DA » est formé des listes AAB ; ABA et BAA.

      Chaque liste a pour probabilité 0,42×0,6, donc : pC=3×0,42×0,6=0,288

      La probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut DA est égale à 0,288.



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