sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Lors d'une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d'appels par minute, est donné par la fonction f telle que :
$f\left(x\right)=-4x^2+8x$ pour $x\in \left[0;1\right]$.
$f\left(x\right)=\ln x-x+5$ pour $x\in \left[1;5\right]$.

La courbe (C), représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, est donnée ci-après à titre indicatif.

On veut calculer le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce nombre d'appels est donné par ${\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

1. Démontrer que f est croissante sur $\left[0;1\right]$, et décroissante sur $\left[1;5\right]$.

2. 1. Donner une primitive de la fonction f sur $\left[0;1\right]$.

   2. Calculer l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

      lien entre l'intégrale et aire

      Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

3. 1. Soient g et G les fonctions définie sur $\left[1;5\right]$ par $g\left(x\right)=\ln x$ et $G\left(x\right)=x\ln x-x$.
      Montrer que G est une primitive de g sur $\left[1;5\right]$.

   2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=5$.

4. Donner le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes.

   Relation de Chasles...

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