Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Lors d'une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d'appels par minute, est donné par la fonction f telle que :
fx=-4x2+8x pour x01.
fx=lnx-x+5 pour x15.

La courbe (C), représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, est donnée ci-après à titre indicatif.

On veut calculer le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce nombre d'appels est donné par 05fxdx.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Démontrer que f est croissante sur 01, et décroissante sur 15.

    1. Donner une primitive de la fonction f sur 01.

    2. Calculer l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

      lien entre l'intégrale et aire

      Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle ab et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;ı,ȷ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle ab,  fx0, alors abfxdx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

    1. Soient g et G les fonctions définie sur 15 par gx=lnx et Gx=xlnx-x.
      Montrer que G est une primitive de g sur 15.

    2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=5.

  2. Donner le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes.

    Relation de Chasles...


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