Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les semaines.

La probabilité que A gagne la partie de la première semaine est 0,7.
Si A gagne la partie de la semaine n, il garde la même stratégie de jeu la semaine suivante, et la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine (n + 1) est seulement de 0,4.
Si A perd la partie de la semaine n, il change de stratégie de jeu pour la semaine suivante, et alors, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine (n + 1) est de 0,9.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par $A_{n}$ l'évènement : « A gagne la partie de la n^ième semaine », par $B_{n}$ l'évènement : « B gagne la partie de la n^ième semaine », et on note $a_{n} = p (A_{n})$ .
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite $(a_{n})$ , en utilisant deux méthodes différentes.

Première méthode : graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & 1 - a_{n} \end{matrix})$ la matrice des probabilités associée à la n^ième semaine.

Décrire cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste, et donner la matrice M de transition associée à ce graphe.

Définition :

Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{i j}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.
On donne $M^{2} = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,45 & 0,55 \end{matrix})$ et $M^{3} = (\begin{matrix} 0,55 & 0,45 \\ 0,675 & 0,325 \end{matrix})$
Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la 4^ème semaine ?
Déterminer la matrice ligne $P = (\begin{matrix} x & 1 - x \end{matrix})$ telle que $P \times M = P$ .
En déduire la limite de la suite $(a_{n})$ et interpréter le résultat obtenu.

L'état $P_{n}$ converge vers l'état P.

Deuxième méthode : probabilité et suites

Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte de résultats démontrés dans la partie précédente.

1. Recopier sur votre copie l'arbre ci-dessous, et compléter l'arbre avec les 5 probabilités manquantes.
2. Justifier que $a_{n + 1} = 0,9 - 0,5 a_{n}$ pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
  
  $a_{n + 1} = p (A_{n + 1})$
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par : $u_{n} = a_{n} - 0,6$ .
1. Démontrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison (−0,5).
  
  DÉFINITION :
  
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
2. En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de n, puis la limite de la suite $(a_{n})$ .
  
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison q et de premier terme $a \neq 0$ . Si $- 1 < p < 1$ alors la suite $(u_{n})$ converge vers 0.

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