Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les semaines.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par An l'évènement : « A gagne la partie de la nième semaine », par Bn l'évènement : « B gagne la partie de la nième semaine », et on note an=pAn.
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite an, en utilisant deux méthodes différentes.

Première méthode : graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par Pn=an1-an la matrice des probabilités associée à la nième semaine.

  1. Décrire cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste, et donner la matrice M de transition associée à ce graphe.

    Définition :

    Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient aij a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

  2. On donne M2=0,70,30,450,55 et M3=0,550,450,6750,325
    Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la 4ème semaine ?

  3. Déterminer la matrice ligne P=x1-x telle que P×M=P.

  4. En déduire la limite de la suite an et interpréter le résultat obtenu.

    L'état Pn converge vers l'état P.

Deuxième méthode : probabilité et suites

Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte de résultats démontrés dans la partie précédente.

    1. Recopier sur votre copie l'arbre ci-dessous, et compléter l'arbre avec les 5 probabilités manquantes.

      Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Justifier que an+1=0,9-0,5an pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

      an+1=pAn+1

  1. On considère la suite un définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par : un=an-0,6.

    1. Démontrer que un est une suite géométrique de raison (−0,5).

      DÉFINITION :

      Dire qu'une suite (un)n est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

    2. En déduire l'expression de an en fonction de n, puis la limite de la suite an .

      un est une suite géométrique de raison q et de premier terme a0. Si -1<p<1 alors la suite un converge vers 0.


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.