Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :

x -   − 1   +

fx

-

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

3

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0


La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A-31 et B-13. Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer graphiquement f-3 et f-1.

    Le nombre dérivé fa est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse a.

  2. Soit g la fonction définie sur par gx=efx . On admet que g est dérivable sur .

    1. Justifier que f et g ont les mêmes variations.

      théorème :

      Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur I.

    2. Déterminer limx-gx et limx+gx (on justifiera les résultats).

      • limx-fx=- et limX-eX= donc limx-efx=

      • limx+fx=0 et limX0eX= donc limx+efx=

    3. Calculer g-3.

      théorème :

      Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeux est dérivable sur I et pour tout réel x de I, fx=eux×ux.

  3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle -3,1+ par hx=lnfx . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle -3,1+.

    1. Déterminer limx+hx (on justifiera le résultat).

      limx+fx=0 et limX0lnX= donc limx+lnfx=

    2. Calculer h-3.

      théorème :

      Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction lnu est dérivable sur I et sa dérivée est lnu=uu.


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