sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Démontrer que f est croissante sur $\left[0;1\right]$, et décroissante sur $\left[1;5\right]$.

   • Sur $\left[0;1\right]$ , les variations de la fonction f se déduisent des variations de la fonction $f_1:x⟼-4x^2+8x$ définie sur $ℝ$.

     $f_1$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-4$, $b=8$ et $c=0$. Donc $f_1$ admet un maximum atteint pour $$x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{8}{-8}}=1$$

     Les variations de la fonction $f_1$ sont :

     x	$-\infty$	0	1		$+\infty$
     $f_1\left(x\right)$	$-\infty$		4		$-\infty$

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     Ainsi, f est strictement croissante sur $\left[0;1\right]$.

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   • Sur $\left[1;5\right]$ , les variations de la fonction f se déduisent des variations de la fonction $f_2:x⟼\ln x-x+5$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$.

     La fonction $f_2$ est dérivable et : $$\begin{array}{ccc}{f}_2\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x}}-1\\ & =& {\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}$$

     Les variations de la fonction $f_2$ se déduisent du signe de la dérivée d'où :

     x	0		1	5	$+\infty$
     $f_2\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−
     $f_1\left(x\right)$			4

     ---

     Ainsi, f est strictement décroissante sur $\left[1;5\right]$.

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2. 1. Donner une primitive de la fonction f sur $\left[0;1\right]$.

      Une primitive de la fonction f sur $\left[0;1\right]$ est la fonction $F_1$ définie sur $\left[0;1\right]$ par $$\begin{array}{ccc}{F}_1\left(x\right)& =& -4\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+8\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, la fonction $F_1$ définie sur $\left[0;1\right]$ par $F_1\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3+4x^2$ est une primitive de la fonction f sur $\left[0;1\right]$.

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   2. Calculer l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

      La fonction f est continue sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ et pour $x\in \left[0;1\right]$, nous avons :$$0⩽-4x^2+8x⩽4$$

      Par conséquent, sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire, Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. l'intégale $\mathrm{I}={\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

      $$\begin{array}{lllll}{\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_0^1\left(-4x^2+8x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^3+4x^2\right]}_0^1}\\ & =& \multicolumn{3}{c}{\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\times 1^3+4\times 1^2\right)-\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}}\times 0^3+4\times 0^2\right)}\\ & =& \multicolumn{3}{c}{{\displaystyle \frac{8}{3}}}\end{array}$$

      L'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$ est égale à ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ d'unités d'aire

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3. 1. Soient g et G les fonctions définie sur $\left[1;5\right]$ par $g\left(x\right)=\ln x$ et $G\left(x\right)=x\ln x-x$.
      Montrer que G est une primitive de g sur $\left[1;5\right]$.

      Dire que G est une primitive de g sur $\left[1;5\right]$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;5\right]$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ la fonction $x⟼x\ln x$ est dérivable et de la forme $uv$ sa dérivée est donc de la forme $u\prime v+uv\prime$ avec :$$\begin{array}{ccccccc}u\left(x\right)=x& ;& u\prime \left(x\right)=1& ;& v\left(x\right)=\ln x& ;& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

      Par conséquent, $$\begin{array}{lllll}G\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1& =& \ln x\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;5\right]$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ alors, G est une primitive de g sur $\left[1;5\right]$.

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   2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=5$.

      La fonction f est continue sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ et pour $x\in \left[1;5\right]$, nous avons :$$\ln 5⩽\ln x-x+5⩽4$$

      Par conséquent, sur l'intervalle $\left[1;5\right]$, la fonction f est continue et positive alors, l'intégale $\mathrm{J}={\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=5$.

      D'après la question précédente, une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ est la fonction $x⟼x\ln x-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+5x$ . D'où $$\begin{array}{lllll}{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_1^5\left(\ln x-x+5\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[x\ln x-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+5x\right]}_1^5}\\ & =& \multicolumn{3}{c}{\left(5\times \ln 5-5-{\displaystyle \frac{5^2}{2}}+5\times 5\right)-\left(1\times \ln 1-1-{\displaystyle \frac{1^2}{2}}+5\times 1\right)}\\ & =& \multicolumn{3}{c}{5\ln 5+20-{\displaystyle \frac{25}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-5}\\ & =& \multicolumn{3}{c}{5\ln 5+4}\end{array}$$

      L'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=5$ est égale à $5\ln 5+4$ unités d'aire

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4. Donner le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes.

   Le nombre total d'appels (exprimé en milliers) reçus pendant ces 5 minutes est donné par ${\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   La fonction f est continue sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ alors, d'après la relation de Chasles, Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c appartenant à I, on a la relation de Chasles $${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_b^{c}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_a^{c}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$. $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\int }_0^1\left(-4x^2+8x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_1^5\left(\ln x-x+5\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle \frac{8}{3}}+5\ln 5+4\\ & =& 5\ln 5+{\displaystyle \frac{20}{3}}\approx \mathrm{14,7139}\end{array}$$

   Arrondi à l'unité, le nombre d'appels reçus pendant ces 5 minutes est de 14 714.

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