Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Lors d'une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers d'appels par minute, est donné par la fonction f telle que :
fx=-4x2+8x pour x01.
fx=lnx-x+5 pour x15.

La courbe (C), représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan, est donnée ci-après à titre indicatif.

On veut calculer le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce nombre d'appels est donné par 05fxdx.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Démontrer que f est croissante sur 01, et décroissante sur 15.

    • Sur 01 , les variations de la fonction f se déduisent des variations de la fonction f1:x-4x2+8x définie sur .

      f1 est une fonction polynôme du second degré avec a=-4, b=8 et c=0. Donc f1 admet un maximum atteint pour x=-b2a=-8-8=1

      Les variations de la fonction f1 sont :

      x - 0 1   +

      f1x

      -

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      4

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -


      Ainsi, f est strictement croissante sur 01.


    • Sur 15 , les variations de la fonction f se déduisent des variations de la fonction f2:xlnx-x+5 définie sur 0+.

      La fonction f2 est dérivable et : f2x=1x-1=1-xx

      Les variations de la fonction f2 se déduisent du signe de la dérivée d'où :

      x 0   1 5 +

      f2x

        + 0||  

      f1x

        fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      4

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  

      Ainsi, f est strictement décroissante sur 15.


    1. Donner une primitive de la fonction f sur 01.

      Une primitive de la fonction f sur 01 est la fonction F1 définie sur 01 par F1x=-4×x33+8×x22

      Ainsi, la fonction F1 définie sur 01 par F1x=-43x3+4x2 est une primitive de la fonction f sur 01.


    2. Calculer l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

      La fonction f est continue sur l'intervalle 01 et pour x01, nous avons :0-4x2+8x4

      Par conséquent, sur l'intervalle 01, la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire, Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle ab et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;ı,ȷ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle ab,  fx0, alors abfxdx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
      l'intégale I=01fxdx mesure l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1.

      01fxdx=01-4x2+8xdx=-43x3+4x201=-43×13+4×12--43×03+4×02=83

      L'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=1 est égale à 83 d'unités d'aire


    1. Soient g et G les fonctions définie sur 15 par gx=lnx et Gx=xlnx-x.
      Montrer que G est une primitive de g sur 15.

      Dire que G est une primitive de g sur 15 signifie que pour tout réel x de l'intervalle 15, Gx=gx.

      Sur l'intervalle 15 la fonction xxlnx est dérivable et de la forme uv sa dérivée est donc de la forme uv+uv avec :ux=x;ux=1;vx=lnx;vx=1x

      Par conséquent, Gx=1×lnx+x×1x-1=lnx

      Pour tout réel x de l'intervalle 15, Gx=gx alors, G est une primitive de g sur 15.


    2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=5.

      La fonction f est continue sur l'intervalle 15 et pour x15, nous avons :ln5lnx-x+54

      Par conséquent, sur l'intervalle 15, la fonction f est continue et positive alors, l'intégale J=15fxdx mesure l'aire exprimée en unités d'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=5.

      D'après la question précédente, une primitive de la fonction f sur l'intervalle 15 est la fonction xxlnx-x-x22+5x . D'où 15fxdx=15lnx-x+5dx=xlnx-x-x22+5x15=5×ln5-5-522+5×5-1×ln1-1-122+5×1=5ln5+20-252+32-5=5ln5+4

      L'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=5 est égale à 5ln5+4 unités d'aire


  2. Donner le nombre total d'appels reçus pendant ces 5 minutes.

    Le nombre total d'appels (exprimé en milliers) reçus pendant ces 5 minutes est donné par 05fxdx

    La fonction f est continue sur l'intervalle 15 alors, d'après la relation de Chasles, Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c appartenant à I, on a la relation de Chasles abfxdx+bcfxdx=acfxdx. 05fxdx=01fxdx+15fxdx=01-4x2+8xdx+15lnx-x+5dx=83+5ln5+4=5ln5+20314,7139

    Arrondi à l'unité, le nombre d'appels reçus pendant ces 5 minutes est de 14 714.



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