Baccalauréat session 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet remplacement : Nouvelle Calédonie (Mars 2007)

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les semaines.

  • La probabilité que A gagne la partie de la première semaine est 0,7.
  • Si A gagne la partie de la semaine n, il garde la même stratégie de jeu la semaine suivante, et la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine (n + 1) est seulement de 0,4.
  • Si A perd la partie de la semaine n, il change de stratégie de jeu pour la semaine suivante, et alors, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine (n + 1) est de 0,9.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par An l'évènement : « A gagne la partie de la nième semaine », par Bn l'évènement : « B gagne la partie de la nième semaine », et on note an=pAn.
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite an, en utilisant deux méthodes différentes.

Première méthode : graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par Pn=an1-an la matrice des probabilités associée à la nième semaine.

  1. Décrire cette situation à l'aide d'un graphe probabiliste, et donner la matrice M de transition associée à ce graphe.

    Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A (le joueur A gagne la partie) ou l'état B (le joueur B gagne la partie).

    • Si A gagne la partie de la semaine, la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine suivante est de 0,4 donc la probabilité de rester dans l'état A est pAnAn+1=0,4 et la probabilté de passer de l'état A à l'état B est pAnBn+1=0,6.

    • Si A perd la partie, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine semaine suivante, est de 0,9 donc la probabilité de passer de l'état B à l'état A est pBnAn+1=0,9 et la probabilté de rester dans l'état B est pBnBn+1=0,1.

    D'où le graphe probabiliste :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    dont la matrice de transition est : M=0,40,60,90,1


  2. On donne M2=0,70,30,450,55 et M3=0,550,450,6750,325
    Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la 4ème semaine ?

    La probabilité que A gagne la partie de la première semaine est 0,7 alors la matrice décrivant l'état probabiliste initial est : P1=0,71-0,7P1=0,70,3

    L'état probabiliste la nième semaine ( c'est à dire n −1 semaines après la 1re semaine ) est donc Pn=P1×Mn-1

    L'état probabiliste la 4ème semaine est donc P4=P1×M3P4=0,70,3×0,550,450,6750,325P4=0,7×0,55+0,3×0,6750,7×0,45+0,3×0,325P4=0,58750,4125

    La probabilité pour que A gagne la partie de la 4ème semaine est égale à 0,5875.


  3. Déterminer la matrice ligne P=x1-x telle que P×M=P.

    P=P×Mx1-x=x1-x×0,40,60,90,1x1-x=0,4x+0,91-x0,6x+0,11-xx1-x=0,9-0,5x0,5x+0,1

    D'où x est solution du système : {x=0,9-0,5x1-x=0,5x+0,1{1,5x=0,9-1,5x=-0,9x=0,6

    L'état stable est P=0,60,4.


  4. En déduire la limite de la suite an et interpréter le résultat obtenu.

    D'après le théorème du cours Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
    —  l'état Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P0 ;
    —  de plus, P est l'unique solution de l'équation X=X×MX=xy avec x+y= 1 .
    , indépendamment de l'état initial l'état probabiliste Pn=an1-an converge vers l'état stable P=0,60,4.

    Donc limn+an=0,6 . C'est à dire, qu'au bout d'un grand nombre de semaines, la probabilité que le joueur A gagne sera égale à 0,6.


Deuxième méthode : probabilité et suites

Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte de résultats démontrés dans la partie précédente.

    1. Recopier sur votre copie l'arbre ci-dessous, et compléter l'arbre avec les 5 probabilités manquantes.

      • pAn=an donc pBn=1-pAn=1-an.

      • Si A gagne la partie de la semaine n, la probabilité qu'il gagne alors la partie de la semaine suivante est 0,4 donc pAnAn+1=0,4 et pAnBn+1=1-pAnAn+1=0,6.

      • Si A perd la partie de la semaine n, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine semaine suivante est 0,9 donc pBnAn+1=0,9 et pBnBn+1=1-pBnAn+1=0,1.

      Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Justifier que an+1=0,9-0,5an pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

      an+1=pAn+1. Or An et Bn sont deux évènements contraires et forment une partition de l'ensemble des résultats alors, d'après la formule des probabilités totales : A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
      pAn+1=pAn+1An+pAn+1Bn=pAnAn+1×pAn+pBnAn+1×pBn=0,4×an+0,9×1-an=0,9-0,5an

      Ainsi, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, an+1=0,9-0,5an.


  1. On considère la suite un définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par : un=an-0,6.

    1. Démontrer que un est une suite géométrique de raison (−0,5).

      Montrons pour tout entier n1, un+1=-0,5un. (Voir la définition d'une suite géométrique.) Dire qu'une suite (un)n est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

      Pour tout entier n1, un+1=an+1-0,6=0,9-0,5an-0,6=0,3-0,5an=-0,5an-0,6=-0,5×un

      Pour tout entier n1, un+1=-0,5un alors la suite un est une suite géométrique de raison -0,5.


    2. En déduire l'expression de an en fonction de n, puis la limite de la suite an.

      un est une suite géométrique de raison -0,5 et de premier terme u1=a1-0,6=0,7-0,6=0,1 alors d'après la propriété des suites géométriques , Si (un)n est une suite géométrique de raison q, de premier terme u0 alors, pour tout entier n : un=u0×qn et, plus généralement, pour tout entier np : un=upun-p avec p. pour tout entier n1, un=u1×-0,5n-1=0,1×-0,5n-1.

      Comme pour tout entier n1, un=an-0,6 alors an=un+0,6.

      Soit pour tout entier n1, an=0,1×-0,5n-1+0,6


      Comme -1<-0,5<1 , la suite géométrique un converge vers 0. Donc limn+un=0limn+0,1×-0,5n-1=0

      D'où, limn+0,1×-0,5n-1+0,6=0,6.

      La suite an converge vers 0,6.



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