sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Justifier les valeurs des probabilités suivantes :$$\begin{array}{ccccc}p\left(R_1\right)={\displaystyle \frac{1}{8}}& & p_{R_1}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{3}{31}}& & p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{4}{31}}\end{array}$$

   • Dans un jeu de 32 cartes il y a quatre rois. Le tirage d'une carte est fait de manière aléatoire, chaque carte a la même probabilité d'être tirée.

     D'où $p\left(R_1\right)={\displaystyle \frac{4}{32}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

     Ainsi $p\left(R_1\right)={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

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   • Il s'agit de déterminer la probabilité de tirer un deuxième roi sachant que la première carte tirée est un roi.

     Si la première carte qui a été tirée est un roi, il ne reste plus que trois rois parmi les trente et une cartes restantes . D'où $p_{R_1}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{3}{31}}$.

     Ainsi $p_{R_1}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{3}{31}}$.

     ---

   • Il s'agit de déterminer la probabilité que la deuxième carte tirée soit un roi sachant que la première carte tirée n'est pas un roi.

     Si la première carte qui a été tirée n'est pas un roi, il y a quatre rois parmi les trente et une cartes restantes . D'où $p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{4}{31}}$.

     Ainsi $p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{4}{31}}$.

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2. On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l'arbre ci-dessous en inscrivant les probabilités, en écriture fractionnaire sur chaque branche.

   La première question nous a permis d'établir que $$\begin{array}{ccccc}p\left(R_1\right)={\displaystyle \frac{1}{8}}& & p_{R_1}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{3}{31}}& & p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right)={\displaystyle \frac{4}{31}}\end{array}$$

   On complète l'arbre pondéré en utilisant la règle des nœuds.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

   D'où $$\begin{array}{ccccc}p\left(\overline{R_1}\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}& ;& p_{R_1}\left(\overline{R_2}\right)=1-{\displaystyle \frac{3}{31}}={\displaystyle \frac{28}{31}}& \text{et }& p_{\overline{R_1}}\left(\overline{R_2}\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{31}}={\displaystyle \frac{27}{31}}\end{array}$$

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   Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

3. Calculer la probabilité des événements :
   A « tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage »
   B « tirer un roi à un seul des deux tirages »

   • $$\begin{array}{lllll}p\left(\mathrm{A}\right)& =& p\left(R_1\cap R_2\right)& =& p_{R_1}\left(R_2\right)\times p\left(R_1\right)\\ & & & =& {\displaystyle \frac{3}{31}}\times {\displaystyle \frac{1}{8}}\\ & & & =& {\displaystyle \frac{3}{248}}\end{array}$$

     Ainsi arrondie au millième, $p\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{0,012}$.

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   • $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{B}\right)& =& p\left(R_1\cap \overline{R_2}\right)+p\left(\overline{R_1}\cap R_2\right)\\ & =& p_{R_1}\left(\overline{R_2}\right)\times p\left(R_1\right)+p_{\overline{R_1}}\left(R_2\right)\times p\left(\overline{R_1}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{28}{31}}\times {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{4}{31}}\times {\displaystyle \frac{7}{8}}\\ & =& {\displaystyle \frac{7}{31}}\end{array}$$

     Ainsi arrondie au millième, $p\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,226}$.

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4. On s'intéresse au nombre X de bonbons gagnés après deux tirages.
   Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de X.

   Ne pas gagner de bonbons est associé à la réalisation de l'évènement «aucune des deux cartes n'est un roi»

   Or $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{R_1}\cap \overline{R_2}\right)& =& p_{\overline{R_1}}\left(\overline{R_2}\right)\times p\left(\overline{R_1}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{27}{31}}\times {\displaystyle \frac{7}{8}}\\ & =& {\displaystyle \frac{189}{248}}\approx \mathrm{0,762}\end{array}$$

   Nombre de bonbons $x_i$	0	10	20
   $p\left(X=x_i\right)$	0,762	0,226	0,012

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5. Calculer l'espérance mathématique E de cette loi, arrondie au dixième.

   L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est d'après la définition :Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
   L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$E=0\times \mathrm{0,762}+10\times \mathrm{0,226}+20\times \mathrm{0,012}=\mathrm{2,5}$$

   L'espérance mathématique E de cette loi est égale à 2,5.

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