Baccalauréat Avril 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour passer le temps, Chloé et Margaux inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer et un paquet de bonbons.

On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèfle, cœur, carreau) et, dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).

Margaux propose la règle suivante :

On tire une carte, on regarde si c'est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet, on tire une seconde carte et on regarde si c'est un roi.
Si, sur les deux cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons ; si on a tiré deux rois, on gagne 20 bonbons ; sinon, on a perdu !

On note :
$R_{1}$ l'événement « tirer un roi au premier tirage » et $\bar{R_{1}}$ son événement contraire,
$R_{2}$ l'événement « tirer un roi au deuxième tirage » et $\bar{R_{2}}$ son événement contraire.

Justifier les valeurs des probabilités suivantes : $\begin{matrix} p (R_{1}) = \frac{1}{8} & p_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{3}{31} & p_{\bar{R_{1}}} (R_{2}) = \frac{4}{31} \end{matrix}$
On traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l'arbre ci-dessous en inscrivant les probabilités, en écriture fractionnaire sur chaque branche.

Complèter l'arbre pondéré en utilisant la règle des nœuds :

Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.
Calculer la probabilité des événements :
A « tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage »
B « tirer un roi à un seul des deux tirages »

$p (A) = p (R_{1} \cap R_{2})$ et $p (B) = p (R_{1} \cap \bar{R_{2}}) + p (\bar{R_{1}} \cap R_{2})$ .
On s'intéresse au nombre X de bonbons gagnés après deux tirages.
Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de X.

Nombre de bonbons $x_{i}$ 0 10 20

$p (X = x_{i})$ 0,226
Calculer l'espérance mathématique E de cette loi, arrondie au dixième.

Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ : $μ = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}$

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Nombre de bonbons $x_{i}$	0	10	20
$p (X = x_{i})$		0,226